Eix radical

En geometria plana, el eix radical de dos circumferències no concèntriques és el lloc geomètric dels punts en igual potencia respecte de les mateixes.

Per mig de la geometria analítica es pot demostrar que l'eix radical és sempre una recta.
Sean $(p_{1}, q_{1})$ i $(p_{2}, q_{2})$ els centres dels dos círculs, $r_{1}$ i $r_{2}$ els radis corresponents.
Segons la definició algebraica de la potencia del punt $(x, y)$ s'obté per a cada u dels círculs $(x - p_{1})^{2} + (y - q_{1})^{2} - r_{1}^{2}$ o $(x - p_{2})^{2} + (y - q_{2})^{2} - r_{2}^{2}$ .
En igualar les dos potències s'obté l'equació del lloc geomètric dels punts en igual potència respecte dels círculs:

$(x - p_{1})^{2} + (y - q_{1})^{2} - r_{1}^{2} = (x - p_{2})^{2} + (y - q_{2})^{2} - r_{2}^{2}$

La multiplicació i agrupació resulta en

$2 (p_{2} - p_{1}) x + 2 (q_{2} - q_{1}) y + (r_{2}^{2} - r_{1}^{2} + p_{1}^{2} + q_{1}^{2} - p_{2}^{2} - q_{2}^{2}) = 0$

En esta equació els térmens quadrats $x^{2}$ i $y^{2}$ s'han anulat, no hi ha térmens mixts $x y$ , ha quedat una equació del tipo $A x + B y + C = 0$ que és la forma general de l'equació de recta.

L'eix radical és una recta perpendicular al segment determinat pels dos centres de les circumferències, puix donat un punt de l'eix radical, el punt simètric respecte del segment que unix els centres de les circumferències també tindrà la mateixa potència.

Si les circumferències són exteriors, l'eix radical es pot determinar unint els punts mijos (M en la figura) dels segments determinats pels punts de contacte de les tangentes a les circumferències (punts T1 i T2 en la figura).

Si les circumferències són tangentes, l'eix radical conté el punt d'intersecció d'abdós circumferències i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències.

Si les circumferències són secantes, l'eix radical conté els punts d'intersecció de les circumferències, ya que abdós tenen potència nula respecte de les circumferències.

Si una de les circumferències és interior, es pot obtindre l'eix radical traçant una circumferència auxiliar secante a les circumferències donades (a en la figura). El punt d'intersecció dels eixos radicals auxiliars (C en la figura) té igual potencia respecte a les circumferències donades, per tant, l'eix radical serà la recta que conté al punt C i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències inicials. (Es deu elegir la circumferència auxiliar de tal forma que els eixos radicals auxiliars es tallen dins del paper del dibuix).

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Eje radical» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.