Politopo de creuament

Politopo de creuament

En geometria, un politopo de creuament o ortoplejo, és un politopo regular convexo que existix en qualsevol número de dimensions. Els vèrtiços d'un politopo de creuament consistixen de totes les permutació de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de creuament és el caixco o bolic convexo dels seus vèrtiços. (Nota: alguns autors definixen al politopo convexo només com la envoltura d'esta regió).

En una dimensió, el politopo de creuament és simplement un segment de llínea [−1, +1], en dos dimensions és el quadrat en vèrtiços {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensions és l'octaedre (un dels cinc poliedres coneguts com sòlits platònics. Els politopos de creuament en major número de dimensions són generalisacions d'estos.

Politopo de creuament de 2 dimensions		Politopo de creuament de 3 dimensions		Politopo de creuament de 4 dimensions
2 dimensions		3 dimensions		4 dimensions

El politopo de creuament és el dual del politopo de mida.

Quatre dimensions

Artícul principal → Hexadecacoron.

El politopo de creuament de quatre dimensions té el nom de hexadecacoron o 16-cell, un dels sis polícoros regulars. Estos polícoros varen ser descriptos originalment pel matemàtic suís Ludwig Schläfli a mitan de el XIX.

Dimensions majors

En n dimensions en n > 4 existixen només tres politopos regulars: el simplex, el politopo de mida, i el politopo de creuament, sent estos dos últims duals i el simplex auto-dual.

El politopo de creuament n-dimensional té 2n vèrtiços, i 2ⁿ facetes (components (n−1)-dimensionals) tots els quals són n−1-simplices. Les figures de vèrtiç són totes politopos de creuament (n−1)dimensionals. El símbol de Schläfli del politopo de creuament és {3,3,…,3,4}.

El número de components k-dimensionals (vèrtiços, arestes, cares, …, facetes) d'un politopo de creuament n-dimensional està determinat per (vore coeficient binomial):

$2^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$

Per als primers n i k tindrem:

Elements dels Politopos de Creuament

n	βn k11	Name(s) Grafo	Grafo 2n-gono	Grafo 2(n-1)-gono	Schläfli	Vèrtiços	Arestes	Cares	3-caras	4-cares	5-cares	6-cares	7-cares	8-cares	9-cares
1	β1	Segment 1-ortoplex	Archiu:Cross graph 1.svg		{}	2
2	β2 −111	Quadrat 2-ortoplex Bicruce	Archiu:2-orthoplex.svg	Archiu:2-orthoplex caps block 10 .svg	{4} {}+{}	4	4
3	β3 011	Octaedre 3-orthoplex Tricruce	Archiu:3-orthoplex.svg	Archiu:3-orthoplex caps block 15 .svg	{3,4} {30,1,1} {}+{}+{}	6	12	8
4	β4 111	Hexadecacoron 4-orthoplex Tetracruce	Archiu:4-orthoplex.svg	Archiu:4-orthoplex caps block 21 .svg	{3,3,4} {31,1,1} 4{}	8	24	32	16
5	β5 211	5-ortoplex Pentacruce	Archiu:5-orthoplex.svg	Archiu:5-orthoplex caps block 26 .svg	{33,4} {32,1,1} 5{}	10	40	80	80	32
6	β6 311	6-ortoplex Hexacruce	Archiu:6-orthoplex.svg	Archiu:6-orthoplex caps block 31 .svg	{34,4} {33,1,1} 6{}	12	60	160	240	192	64
7	β7 411	7-ortoplex Heptacruce	Archiu:7-orthoplex.svg	Archiu:7-orthoplex caps block 36 .svg	{35,4} {34,1,1} 7{}	14	84	280	560	672	448	128
8	β8 511	8-ortoplex Octacruce	Archiu:8-orthoplex.svg	Archiu:8-orthoplex caps block 41 .svg	{36,4} {35,1,1} 8{}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β9 611	9-ortoplex Eneacruce	Archiu:9-orthoplex.svg	Archiu:9-orthoplex caps block 46 .svg	{37,4} {36,1,1} 9{}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β10 711	10-ortoplex Decacruce	Archiu:10-orthoplex.svg	Archiu:10-orthoplex caps block 51 .svg	{38,4} {37,1,1} 10{}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	βn k11	n-ortoplex n-creue			{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{}	2n 0-cares, ... $2^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$ k-cares ..., 2n (n-1)-cares

Els vèrtiços d'un politopo de creu alineat segons els eixos estan tots a igual distancia uns d'uns atres en la Distancia Manhattan (L¹ norm). La Conjectura de Kusner's afirma que afirma que este conjunt de punts 2D és el major conjunt equidistant possible per a esta distància.

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
• [[Archiu:{{#switch:Geometria|20px|Vore el portal sobre Geometria]] Portal:Geometria. Contingut relacionat en Geometria.

Bibliografia

• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes, 3rd ed. edició, New York: Dover Publications, pp. 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)