Teorema japonesa per a quadrilàters cíclicos

Archiu:Japanese theorem 2.svg

M₁M₂M₃M₄ és un rectàngul.

En geometria, la teorema japonesa establix que els centres de les circumferències inscrites de certs triànguls dins d'un quadrilàter cíclico són els vèrtiços d'un rectàngul.

Triangular un quadrilàter cíclico arbitrari per les seues diagonals produïx quatre triànguls superposts (cada diagonal crea dos triànguls). Els centres dels círculs d'eixos triànguls formen un rectàngul.

Específicament, siga ABCD un quadrilàter cíclico arbitrari, i siguen M_1, M_2, M_{3, i} M₄ els centres dels triànguls △ABD, △ABC, △BCD, △ACD. Llavors, el quadrilàter format per M_1, M_2, M_{3, i} M₄ és un rectàngul.

Tinga's en conte que esta teorema s'estén fàcilment per a provar el teorema japonesa per a polígons cíclicos. Per a provar el cas del quadrilàter, n'hi ha prou en construir el paralelogramo tangente als cantons del rectàngul construït, en costats paralels a les diagonals del quadrilàter. La construcció mostra que el paralelogramo és un rombo, lo que equival a mostrar que les sumes dels radis dels incírculos tangentes a cada diagonal són iguals.

El cas del quadrilàter demostra immediatament el cas general per inducció en el conjunt de particions trianguladas d'un polígon general.

Vore també

• Teorema de Carnot
• Sangaku
• Matemàtiques japoneses

Referències

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
• Theorem en Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: [[hdl:10076/4917|"Plantilla:Nihongo2"]] (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• Wilfred Reis: An Application of Thebault’s Theorem [1] archivat en Wayback Machine.. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185