Figura isotoxal
En geometria, un politopo (per eixemple, un polígon o un poliedre), o un teselado, és isotoxal o transitivo d'arestes si les seues simetrias actuen transitivamente en les seues arestes.[1] Informalment, açò significa que solament hi ha un tipo d'aresta en l'objecte: donades dos arestes, existix una translació, rotació i/o reflexió que permetrà moure una aresta a la posició inicial de l'atra, mentres deixa la regió ocupada per l'objecte sense canvis.
El terme isotoxal es deriva del grec τοξον que significa arc.
Polígons isotoxales
[editar | editar còdic]Un polígon isotoxal és un polígon equilátero, pero no tots els polígons equiláteros són isotoxales. Els duals dels polígons isotoxales són figures isogonales.
En general, un 2n-gono isotoxal tindrà Dn (*nn) simetria diedral. Un rombo és un polígon isotoxal en simetria D2 (*22).
Tots els polígons regulars (triàngul equilátero, quadrat, etc.) són isotoxales, tenen el doble de l'orde de simetria mínim: un n-gono regular té una simetria diedral Dn (*nn). Un 2n-gono regular és un polígon isotoxal i pot marcar-se en vèrtiços coloreados alternativament, eliminant la llínea de reflexió a través dels punts mijos.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rombo | Triàngul equilátero | Hexàgon cóncau | Hexàgon autointersecante | Octógono convexo | Pentágono regular | Pentagrama (regular) autointersecante | Decagrama autointersecante | |
|
|
|
|
|
|
Archiu:Pentagon.svg | Archiu:Pentagram green.svg | Archiu:Isotoxal pentagram.png |
Poliedres i teselados isotoxales
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Anex:Poliedres i teselados isotoxales.
Els poliedres regulars són isohédricos (en cares transitivas), isogonales (en vèrtiços transitivos) i isotoxales. Els poliedres cuasirregulares, com el cuboctaedro o l'icosidodecaedro, són isogonales i isotoxales, pero no són isoédricos; els seus duals, incloent el rombododecaedro i el triacontaedro ròmbic, són isoédricos i isotoxales, pero no isogonales.
| Poliedre cuasirregular |
Poliedre cuasirregular dual |
Poliedre cuasirregular estrelat |
Poliedre cuasirregular estrelat dual |
Teselado cuasirregular |
Teselado cuasirregular dual |
|---|---|---|---|---|---|
| Archiu:Uniform polyhedron-43-t1.svg El cuboctaedro és un poliedre isogonal i isotoxal |
Archiu:Rhombicdodecahedron.jpg El rombododecaedro és un poliedre isoedral i isotoxal |
Archiu:Great icosidodecahedron.png El gran icosidodecaedro és un poliedre estrelat isogonal i isotoxal |
Archiu:Great rhombic triacontahedron.png El gran triacontaedro ròmbic és un poliedre estrelat isoedral i isotoxal |
Archiu:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg El teselado trihexagonal és isogonal i isotoxal |
Archiu:Star rhombic lattice.png El teselado ròmbic és isoedral i isotoxal, en simetria p6m (*632) |
No tots els poliedres o teselados bidimensionales construïts a partir de polígons regulars són isotoxales. Per eixemple, l'icosaedre truncat (el familiar baló de fútbol) té dos tipos d'arestes: hexàgon-hexàgon i hexàgon-pentàgon, i no és possible que una simetria del sòlit moga cada aresta hexàgon-hexàgon cap a una aresta hexàgon-pentàgon.
Un poliedre isotoxal té el mateix àngul diedral per a totes les seues arestes.
Hi ha 9 poliedres convexos isotoxales coincidentes en els sòlits platònics; atres 8 integrats pels sòlits de Kepler–Poinsot; i 6 més que formen part dels poliedres estrelats cuasirregulares (3|pq) i els seus duals.
Hi ha a lo manco 5 teselados poligonales del pla euclidiano que són isotoxales, i innumerables teselados isotoxales poligonales del pla hiperbòlic, incloses les construccions de Wythoff dels grups de teselados hiperbòlics regulars {p,q} i (p q r) no rectes.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Richard K. Guy, Robert E. Woodrow, pp. 43 de 367. ISBN 9780883855164.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Peter R. Cromwell, "Polyhedra", Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitividad
- Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 mosaics Isotoxal, 309-321)
- (1954).«Uniform polyhedra».Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Séries A. Mathematical and Physical Sciences.246
- 401–450.ISSN 0080-4614.doi:10.1098/rsta.1954.0003.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Figura isotoxal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.