Figura isotoxal

En geometria, un politopo (per eixemple, un polígon o un poliedre), o un teselado, és isotoxal o transitivo d'arestes si les seues simetries actuen transitivamente en les seues arestes. Informalment, açò significa que solament hi ha un tipo d'aresta en l'objecte: donades dos arestes, existix una translació, rotació i/o reflexió que permetrà moure una aresta a la posició inicial de l'atra, mentres deixa la regió ocupada per l'objecte sense canvis.

El terme isotoxal es deriva del grec τοξον que significa arc.

Polígons isotoxales

Un polígon isotoxal és un polígon equilátero, pero no tots els polígons equiláteros són isotoxales. Els duals dels polígons isotoxales són figures isogonales.

En general, un 2n-gono isotoxal tindrà D_n (*nn) simetria diedral. Un rombo és un polígon isotoxal en simetria D₂ (*22).

Tots els polígons regulars (triàngul equilátero, quadrat, etc.) són isotoxales, tenen el doble de l'orde de simetria mínim: un n-gono regular té una simetria diedral D_n (*nn). Un 2n-gono regular és un polígon isotoxal i pot marcar-se en vèrtiços coloreats alternativament, eliminant la llínea de reflexió a través dels punts mijos.

Eixemples de polígons isotoxales

D2 (*22)	D3 (*33)			D4 (*44)		D5 (*55)
Rombo	Triàngul equilátero	Hexàgon cóncau	Hexàgon autointersecante	Octógono convexo		Pentágono regular	Pentagrama (regular) autointersecante	Decagrama autointersecante

Poliedres i teselados isotoxales

Artícul principal → Anex:Poliedres i teselados isotoxales.

Els poliedres regulars són isohédricos (en cares transitivas), isogonales (en vèrtiços transitivos) i isotoxales. Els poliedres cuasirregulares, com el cuboctaedro o l'icosidodecaedro, són isogonales i isotoxales, pero no són isoédricos; els seus duals, incloent el rombododecaedro i el triacontaedro ròmbic, són isoédricos i isotoxales, pero no isogonales.

Eixemples

Poliedre cuasirregular	Poliedre cuasirregular dual	Poliedre cuasirregular estrelat	Poliedre cuasirregular estrelat dual	Teselado cuasirregular	Teselado cuasirregular dual
El cuboctaedro és un poliedre isogonal i isotoxal	El rombododecaedro és un poliedre isoedral i isotoxal	El gran icosidodecaedro és un poliedre estrelat isogonal i isotoxal	El gran triacontaedro ròmbic és un poliedre estrelat isoedral i isotoxal	El teselado trihexagonal és isogonal i isotoxal	El teselado ròmbic és isoedral i isotoxal, en simetria p6m (*632)

No tots els poliedres o teselados bidimensionales construïts a partir de polígons regulars són isotoxales. Per eixemple, l'icosaedre truncat (el familiar baló de fútbol) té dos tipos d'arestes: hexàgon-hexàgon i hexàgon-pentàgon, i no és possible que una simetria del sòlit moga cada aresta hexàgon-hexàgon cap a una aresta hexàgon-pentàgon.

Un poliedre isotoxal té el mateix àngul diedral per a totes les seues arestes.

Hi ha 9 poliedres convexos isotoxales coincidentes en els sòlits platònics; atres 8 integrats pels sòlits de Kepler–Poinsot; i 6 més que formen part dels poliedres estrelats cuasirregulares (3|pq) i els seus duals.

Hi ha a lo manco 5 teselados poligonales del pla euclidiano que són isotoxales, i innumerables teselados isotoxales poligonales del pla hiperbòlic, incloses les construccions de Wythoff dels grups de teselados hiperbòlics regulars {p,q} i (p q r) no rectes.

Vore també

• Figura isogonal

Bibliografia

• Peter R. Cromwell, "Polyhedra", Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitividad
• Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 mosaics Isotoxal, 309-321)
• (1954).«Uniform polyhedra».Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Séries A. Mathematical and Physical Sciences.246

401–450.ISSN 0080-4614.doi:10.1098/rsta.1954.0003.