Rets de Bravais

En geometria i cristalografia, les rets de Bravais són una disposició infinita de punts discrets l'estructura dels quals és invariante baix cert grup de translacions. En la majoria de casos, també es dona una invariancia baix rotacions o simetria rotacional. Estes propietats fan que des de tots els nodos d'una ret de Bravais es tinga la mateixa perspectiva de la ret. Es diu llavors que els punts d'una ret de Bravais són equivalents.

Per mig de teoria de grups s'ha demostrat que solament existix una única ret de Bravais unidimensional, 5 rets bidimensionales i 14 models distints de rets tridimensionals.

La ret unidimensional és elemental sent esta una simple seqüència de nodos equidistants entre sí. En dos o tres dimensions les coses es compliquen més i la variabilitat de formes obliga a definir certes estructures patró per a treballar cómodament en les rets.

Per a generar estes normalment s'usa el concepte de cela primitiva. Les celes unitàries, són paralelogramos (2D) o paralelepípedes (3D) que constituïxen la menor subdivisió d'una ret cristalina que conserva les característiques generals de tota la retícula, de modo que per simple translació de la mateixa, pot reconstruir-se la ret al complet en qualsevol punt.

Una ret típica R en ${ℝ}^n$ té la forma:

$R=\{\sum _{i=1}^n{\nu }_i{\overrightarrow{a}}_i|{\nu }_i\in \mathbb{Z}\}$

a on {a₁,..., a_n} és una base en l'espai Rⁿ. Pot haver diferents bases que generen la mateixa ret pero el valor absolut del determinant dels vectorés a_i vindrà sempre determinat per la ret per lo que li'l pot representar com a d(R).

Les celes unitàries es poden definir de forma molt simple a partir de dos vectores (2D) o tres vectores (3D). La construcció de la cela es realisa traçant les paraleles d'estos vectores des dels seus extrems fins al punt en el que es creuen. Existix un tipo de cela unitària que es construïx d'un modo distint i que presenta certes ventages en la visualisació de la ret ya que posseïx la mateixa simetria que la ret, és la cela de Wigner-Seitz. Una cela unitària es caracterisa principalment per contindre un únic nodo de la ret d'ahí l'adjectiu de "unitària". Si be en molts casos existixen distintes formes per a les celes unitàries d'una determinada ret el volum de tota cela unitària és sempre el mateix.

Característiques

En ocasions resulta més senzill construir un atre tipo de celes que sense ser unitàries descriuen millor l'estructura de la ret que tractem. Este tipo de celes es denominen celes convencionals. Estes tenen, a la seua volta, els seus propis paràmetros de ret i un volum determinat.

Totes estes celes es consideren celes primitives ya que són capaces de cobrir tot l'espai per mig de translacions sense que queden buits ni solapamientos. Les seues diferències o característiques són les següents:

Empaquetamiento compacte: Açò és quan els àtoms de la cela estan en contacte uns en uns atres. No sempre serà aixina i en molts casos mediarà una distància mínima entre les núvols electrònics dels diferents àtoms.

Paràmetro de ret: És la llongitut dels costats de la cela unitària. Pot haver tan sol un, dos o fins a tres paràmetros de ret distints depenent del tipo de ret de Bravais que tractem. En les estructures més comunes es representa en la lletra a i en la c en cas d'haver dos.

Nodos o àtoms per cela: Tal i com diu el nom és el número de nodos o àtoms que posseïx cada cela. Una cela quadrada, per eixemple, posseirà un nodo per cela ya que cada cantó la compartix en quatre celes més. De fet si una cela posseïx més d'un nodo de ret és que no és unitària, en canvi si posseïx més d'un àtom per cela poguera ser que estiguérem en una cela unitària pero en una base atòmica de més d'un àtom.

Número: És el número de punts de la ret més propencs, els primers veïns, d'un nodo de la ret. Si es tracta d'una estructura en empaquetamiento compactar l'número serà el número d'àtoms en contacte en un atre. El màxim és 12.

Factor de empaquetamiento atòmic: Fracció de l'espai de la cela unitària ocupada pels àtoms, suponent que estos són esferes sòlides.

$f=\frac{n\cdot v}{V_c}$

A on f és el factor de empaquetamiento o fracció de volum ocupat, n el número d'àtoms per cela, v el volum de l'àtom i V_c el volum de la cela. Normalment se sol donar el factor de empaquetamiento compacte per a les diferents celes com a indicador de la densitat d'àtoms que posseïx cada estructura cristalina. En este cas els àtoms es tracten com esferas rígides en contacte en els seus veïns més propencs.

Densitat: A partir de les característiques de la ret, pot obtindre's la densitat teòrica del material que conforma la ret per mig de la següent expressió.

$\rho =\frac{n\cdot m}{N_A\cdot V_c}$

A on ρ és la densitat, N_A el número de Avogadro i m la massa atòmica.

Volum de la cela unitària primitiva: Tota cela unitària té el mateix volum representat per la següent fòrmula. $v_{cup}=|{\overrightarrow{a}}_1({\overrightarrow{a}}_2\times {\overrightarrow{a}}_3)|$ A on a sò els vectores de la base de la ret.

Rets bidimensionales

Segons els ànguls i la distància entre els nodos es distinguixen 5 rets distintes.

Archiu:Redes bidimensionales.png