Factor de empaquetamiento atòmic

En cristalografia, el factor de empaquetamiento atòmic (FEA), en anglés: atomic packing factor, APF, és la fracció de volum en una cela unitat que està ocupada per àtoms. Este factor és adimensional. Per a propòsits pràctics, el FEA d'una cela unitat es determina assumint que els àtoms són esferas rígides. Sobre cristalés d'un component (els que contenen un tipo d'àtom únic), el FEA es representa matemàticament per:

$\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{A}=\frac{N_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}{V}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{d}}}$

a on:

N_àtoms , és el número d'àtoms en la cela unitat,

V_àtom és el volum d'un àtom, i

V_{cela unitat} és el volum ocupat per la cela unitat.

Matemàticament es pot provar que, per a estructures d'un component, el valor de el FEA de l'apany més dens d'àtoms és d'al voltant de 0.74. En realitat, per factors intermoleculars específics, esta sifra pot ser major. Referent a estructures de components múltiples pot excedir el 0.74.

Eixemple

Archiu:Simple cubic crystal cell (opaque).svg

cela unitat CS

Archiu:Caps block 6 crystal cell (opaque).svg

Estructura BCC

Archiu:Hexagonal close packed.svg

Estructura HCP

La cela unitat per a la estructura cúbica centrada en el cos, en anglés: Body-centered cubic, BCC, conté dos àtoms: un octau (1/8) d'àtom en cada cantó de la gaveta i un àtom en el centre. Ya que el volum de cada àtom ubicat en les cantós és compartit en les celes adjacents, cada cela BCC conté dos àtoms.

Cada àtom en els cantons toca l'àtom central. Una llínea que siga dibuixada des d'un cantó del gaveta a través del centre cap a l'atre cantó passa a lo llarc de 4r, a on r és el ràdio d'un àtom. Per geometria, la llongitut de la diagonal és a•√3. Per lo tant, la llongitut de cada costat de l'estructura BCC es pot relacionar en el radi de cada àtom per mig de la fòrmula següent:

$a=\frac{4r}{\sqrt{3}}$

Coneixent açò i la fòrmula del volum d'una esfera: $(4/3)$π r³, és possible calcular el FEA, de la següent manera:

$\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{A}=\frac{N_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}{V}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}}$ $=\frac{2(4/3)\pi r^3}{(4r/\sqrt{3}{)}^3}$ $\approx 0.68$

Per a l'estructura hexagonal la derivació és similar. La llongitut d'un costat del hexàgon es denota per la lliteral a, i la seua altura es representa per mig de c. Llavors:

$a=2r$

$c=(\sqrt{\frac{2}{3}})(4r)$

Després és possible calcular el FEA, com seguix:

$\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{A}=\frac{N_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}{V}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}}$ $=\frac{6(4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](a^2)(c)}$

$=\frac{6(4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](2r{)}^2(\sqrt{\frac{2}{3}})(4r)}$ $=\frac{6(4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](\sqrt{\frac{2}{3}})(16r^3)}$

$=\frac{\pi }{\sqrt{18}}$$=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}$ $\approx 0.74048048969306$

FEA d'estructures comunes

Per mig de procediments similars es poden calcular els factors de empaquetamiento atòmic ideals de totes les estructures cristalines. A continuació, s'inclouen senyes d'alguns factors comuns, redonejats a la centèsima més pròxima.

• Cúbica simple (CS): 0,52
• Cúbica centrada en el cos (BCC): 0,68
• Hexagonal compacta (HCP): 0,74
• Cúbica centrada en les cares (FCC): 0,74
• Cúbica diamant: 0,34