Suma conexa

En matemàtiques, i específicament en topología, l'operació de suma conexa és una modificació geomètrica realisada sobre varietats. El seu efecte consistix en unir dos varietats (topològiques o diferenciables) de la mateixa dimensió prop d'un punt triat en cada una d'elles. Esta construcció eixercita un paper fonamental en la classificació de superfícies compactes.

També és possible unir varietats a lo llarc de sengles subvariedades idèntiques. Existix per últim una noció íntimament relacionada, denominada suma o composició de nucs.

Suma conexa de varietats

Archiu:Connected sum.svg

suma conexa de A i B

Una suma conexa de dos varietats m-dimensionals és una varietat obtinguda despuix d'eliminar una bola oberta en cada varietat i pegar les fronteres esfèriques que estes eliminacions produïxen. Si abdós varietats són varietats orientades, hi ha una única suma conexa (llevat homeomorfismes) definida en exigir que l'aplicació que efectua el pegat invertixca l'orientació. Esta mateixa operació pot estendre's a la categoria de varietats diferenciables, i resulta en eixe cas única llevat difeomorfismos.

L'operació de suma conexa es nota pel símbol # per eixemple, A # B denota la suma conexa de A i B.

Eixemples

• La suma conexa de dos 2-esferes és una 2-esfera.
• La suma conexa de dos bous és un bou de 2 forats.
• La suma conexa de dos plans proyectivos és una botella de Klein.
• La classificació de superfícies compactes, un resultat històric en topología, conclou que qualsevol superfície compacta pot ser expressada com a suma conexa d'una esfera en un número $g$ de bous i un número $k$ de plans proyectivos.
• Es pot demostrar que la suma conexa d'un bou i un pla proyectivo és homeomorfa a la suma conexa de tres plans proyectivos.
• Unint els dos resultats anteriors, veem que per a la classificació de superfícies no és necessari considerar els casos de sumes conexas de bous i proyectivos, podent-se reformular el resultat d'esta forma: tota superfície compacta és homeomorfa a l'esfera, o a una suma conexa de bous, o a una suma conexa de plans proyectivos.

Propietats

• L'operació suma conexa té a l'esfera com a element neutre, és dir, M # S^m és homeomorfa (o difeomorfa) a M.
• La suma conexa és conmutativa i associativa.

Lo que no podem trobar és un element invers per a cada varietat, en lo que podem dir que les classes de equivalència de varietats homeomorfas junt en l'operació suma conexa formen un semigrupo.

• La suma conexa de dos varietats és orientable si i només si ho són les dos varietats.

Suma conexa de nucs

Si un tractara un nuc simplement com una varietat de dimensió 1, la suma conexa de dos nucs coincidiria en la noció de suma conexa de varietats. No obstant, l'essència d'un nuc no és només la seua estructura de varietat (en este sentit, tots els nucs són circumferències) sino la forma en que este està embebido en l'espai ambiente. Aixina, la suma conexa de nucs requerix d'una definició més elaborada per a que en el resultat s'obtinga un embebimiento correcte. A continuació donem una descripció esquemàtica de la definició:

Archiu:Sum of knots.png

PASO 1:Considerem una proyecció regular de cada nuc, de modo que siguen disjuntas.

Archiu:Sum of knots2.png

PASO 2:Trobem un rectàngul que continga solament un arc de cada nuc.

Archiu:Sum of knots3.png

PASO 3:Retallem els arcs anteriors i unim els nucs afegint arcs corresponents als atres dos costats del rectàngul.

En este procediment obtenim la proyecció d'un nou nuc, que cridarem la suma conexa o composició dels nucs originals. La suma conexa de dos nucs K i H es nota, de la mateixa manera que la de varietats, com a K # H.

Referències

• Hirsch, M. W., Differential Topology. Graduate text in mathematics; 33. Springer-Verlag 1976. ISBN 0-387-90148

9-5. (para pegat de varietats diferenciables, i com a cas particular la suma conexa, vore capítul 9).

• Lee, John, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, New York, 2000, ISBN 0-387-98759-2 (per a la suma conexa de varietats topològiques, vore capítul 6).
• Massey, W. S., A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X (text introductori. Vore capítul 1).