Lema dels cinc

En matemàtiques, en particular en àlgebra homollògica i atres aplicacions de la teoria de categories abelianas, el lema dels cinc és un lema important i àmpliament usat dins de la teoria de diagrames conmutativos. És vàlit no solament per a categories abelianas sino que també funciona en la categoria de grups, per eixemple.

El lema dels cinc pot pensar-se com una combinació d'atres dos lemes, els cridats lemes dels quatre, que són duals un de l'atre.

Enunciat

Considere's el següent diagrama conmutativo dins d'una categoria abeliana (com per eixemple la dels grups abelianos o la dels espais vectorials sobre un cos dau) o en la categoria de grups.

El lema dels cinc afirma que, si les files són successions exactes, m i p són isomorfismes, l és un epimorfisme i q és un monomorfisme, llavors n és també un isomorfisme.

Els dos lemes dels quatre afirmen:
(1) Si les files del diagrama conmutativo

són seqüències exactes i m i p són epimorfismes i ademés q és un monomorfismo, llavors n és un epimorfisme.

(2) Si les files del diagrama conmutativo

són exactes i m i p són monomorfismos i ademés l és un epimorfisme, llavors n és un monomorfismo.

Demostració

El método usat en la demostració es denomina comunament persecució de diagrames. Es demostrarà el lema dels cinc provant separadament cada u dels dos lemes dels quatre.

Per a la persecució de diagrames, s'assumirà que existix una categoria de mòduls sobre un cert anell, de tal manera que pot parlar-se de elements dels objectes en el diagrama i considerar que els morfismos del diagrama són funcions (de fet, homomorfismes) que actuen sobre eixos elements.

En general, es definix monomorfismo com un homomorfisme inyectivo; i es definix epimorfisme com un homomorfisme suprayectivo. De manera similar, per a tractar en la condició d'exactitut, pot pensar-se en el núcleu i l'image en el sentit de la teoria de funcions. La demostració s'aplicaria a qualsevol categoria abeliana pel teorema de l'encaix de Mitchell, que afirma que qualsevol categoria abeliana chicoteta pot representar-se com una categoria de mòduls sobre cert anell. Per a la categoria de grups, convertixca's tota la notació aditiva en una notació que involucre el producte del grup, i note's que la conmutatividad del grup abeliano no s'usa explícitament mai.

Aixina, per a provar (1), assumixca's que m i p són suprayectivos i q és inyectivo.

• Siga c′ un element de C′.
• ya que p és suprayectivo, llavors existix un element d en D que complix que p(d) = t(c′).
• Per la conmutatividad del diagrama, o(p(d)) = q(j(d)).
• ya que im t = ker o per l'exactitut, 0 = o(t(c′)) = o(p(d)) = q(j(d)).
• ya que q és inyectivo, j(d) = 0, de tal manera que d està en ker j = im h.
• Per tant, existix un c en C que complix h(c) = d.
• Llavors t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′). ya que t és un homomorfisme, se seguix que t(c′ - n(c)) = 0.
• Per l'exactitut, c′ - n(c) pertany a l'image de s, per lo que existix un b′ en B′ tal que s(b′) = c′ - n(c).
• ya que m és suprayectivo, podem trobar un b de B tal que b′ = m(b).
• Per la conmutatividad, n(g(b)) = s(m(b)) = c' - n(c).
• ya que n és un homomorfisme, n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ - n(c) + n(c) = c′.
• Per tant, n és suprayectivo.

Llavors, per a demostrar (2), assumixca's que m i p són inyectivos i que l és suprayectivo.

• Siga un c de C tal que n(c) = 0.
• t(n(c)) és llavors 0.
• Per la conmutatividad, p(h(c)) = 0.
• ya que p és inyectivo, h(c) = 0.
• Per l'exactitut, existix un element b de B tal que g(b) = c.
• Per la conmutatividad, s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
• Per l'exactitut, existix llavors un element a′ de A′ tal que r(a′) = m(b).
• ya que l és supryectivo, existix un a de A tal que l(a) = a′.
• Per la conmutatividad, m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
• ya que m és inyectivo, f(a) = b.
• Aixina c = g(f(a)).
• ya que la composició de g i f és trivial, c = 0.
• Per tant, n és inyectivo.

Combinant els dos lemes dels quatre es té que l'homomorfisme n és tant epimorfisme com monomorfismo i, per tant, és un isomorfisme.

Aplicacions

El lema dels cinc s'usa aplica freqüentment a seqüències exactes llargues, quan es calcula l'homologia o la cohomología d'un cert objecte. Aixina s'un ampra un subojeto més simple l'homologia del qual o cohomología siga coneguda i aplega a una seqüència exacta que involucre els grups d'homologia desconeguts, pero si un pot comparar l'objecte original i el sub-objecte en alguns ben coneguts per mig de morfismos, llavors s'induïx un morfismo entre les respectives seqüències llargues i el lema dels cinc pot usar-se per a determinar els grups d'homologia desconeguts.

Vore també

• Lema dels cinc abreviat, un cas especial del lema dels cinc per a seqüències exactes breus.
• Lema de la serp, un atre lema demostrat per mig de "persecució de diagrames".
• Lema dels nou

Referències

Bibliografia

• W. R. Scott: Group Theory, Prentice Hall, 1964.
• Massey, William S. (1991). A basic course in algebraic topology, 3rd edició, Springer. ISBN 978-0-387-97430-9.