Regla de Ruffini

Eixemple de l'algoritme de divisió llarga

En matemàtiques, la regla de Ruffini (també li la coneix com a Método de Horner o Algoritme de Ruffini-Horner) és una forma compacta d'escriure la divisió llarga en divisor de primer grau. Específicament facilita el càlcul ràpit de la divisió de qualsevol polinomi entre un binomi de la forma $(x-r)$. Descrita per Paolo Ruffini en 1816, és un cas especial de «divisió sintètica» (una divisió de polinomis en a on el divisor és un «factor llineal»). l'Algoritme de Horner per a l'evaluació de polinomis utilisa la regla de Ruffini. La regla de Ruffini permet aixina mateix localisar raïls d'un polinomi i en polinomis en coeficients racionals factorizarlo en binomis de la forma $(x-r)$ (sent r un número entero).

Història del método de Ruffini

Paolo Ruffini (1765-1822)

El método de Ruffini-Horner per a la busca d'un valor aproximat de la raïl d'un polinomi va ser publicat, en alguns anys de diferència per Paolo Ruffini (1804-1807-1813) i per William George Horner (1819-1845, póstumamente); segons pareix Horner no tenia coneiximent dels treballs de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner és difícilment explotable si el polinomi posseïx dos raïls molt propenques. Ruffini no evoca esta problemàtica, pero Horner propon un procediment especial per a estos casos. El método de Horner va ser utilisat pels matemàtics De Morgan i J.R. Young.

Mentres que tècnica de canvi de variable, històricament es troben algoritmes pareguts; per eixemple en China, per a l'extracció de la raïl n-ésima; en l'obra d'Al Samaw'al (XII). El matemàtic persa Sharaf al-Din al-Tusi (XII) va ser un dels primers en aplicar-ho al cas general d'una equació de tercer grau.

Algoritme resolt en el método de Ruffini

La regla de Ruffini establix un método per a la divisió del polinomi:

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

entre el binomi:

$Q(x)=x-r$

per a obtindre el cocient:

$R(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$

i el restant:

$s.$

• 1. Es tracen dos llínees a manera d'eixos i s'escriuen els coeficients de P(x), ordenats i sense ometre térmens nuls. S'escriu la raïl r del costat esquerre (invertint el signe d'este) i el primer coeficient en el rengló inferior (a_n):

• 2. Es multiplica (a_n) per r i s'escriu baix de a_n-1:.

• 3. Se sumen els dos valors obtinguts en la mateixa columna:

• 4. El procés es repetix:

Els valores b són els coeficients del polinomi resultant $R(x)$ de grau un menys que el grau de $P(x)$. El residu és $s.$

Eixemple 1

Divisió de

$P(x)=2x^3+3x^2-4$

entre

$Q(x)=x+1.$

utilisant la regla de Ruffini.

1. S'escriu $Q(x)=x+1=x-(-1)$ i el primer coeficient (2) en el primer rengló:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & 2& & & \end{array}$

2. Multiplicant per la raïl r=(-1):

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& & & \end{array}$

3. Sumant la columna:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& 1& & \end{array}$

4. El procediment es repetix fins a obtindre el residu:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& -1& 1\\ & 2& 1& -1& -3\\ & \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{.}& & & \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\end{array}$

Si el polinomi original = divisor&claves;cocient+reste, llavors

$P(x)=Q(x)R(x)+s$, a on

$R(x)=2x^2+x-1$ i $s=-3.$

Eixemple 2

Quan el restant és igual a 0; permet factorizar, com en el següent eixemple:

$F(x)=x^3+x^2-x-1$

Prenem

$G(x)=x+1$

Usem el método, i nos queda aixina:

$\begin{array}{ccccc}& 1& 1& -1& -1\\ -1& & -1& 0& 1\\ & 1& 0& -1& 0\\ & \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{.}& & & \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\end{array}$

Llavors F(x) es factoriza $(x^2-1)(x+1)$

Eixemple 3

Divisió per polinomi en coeficients complexos:

$F(x)=4x^3+x^2$

Prenem

$G(x)=x+(1+i)$

Usem el método, i nos queda aixina:

$\begin{array}{ccccc}& 4& 1& 0& 0\\ -(1+i)& & -(4+4i)& -1+7i& 8-6i\\ & 4& -(3+4i)& (-1+7i)& -(-8+6i)\\ & \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{.}& & & \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\end{array}$

$F(x)=[4x^2-(3+4i)x+(-1+7i)]G(x)+(8-6i)$

Trobar raïls

Vore també: Teorema de la raïl racional

Si $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0$ és un polinomi en coeficients sancers i en a₀ i a_n distints de zero, llavors pel teorema de la raïl racional, totes les raïls racionals reals seran de la forma p/q, a on p és un sancer divisor de a₀ i q és un sancer divisor de a_n. Aixina per eixemple, si el polinomi és

$P(x)=x^3+2x^2-x-2=0,$

llavors les possibles raïls racionals són tots els sancers divisores de a₀ (−2):

$\text{Posibles raíces:}\{+1,-1,+2,-2\}.$

Açò és d'utilitat per a poder factorizar un polinomi (en cas de ser factorisable) de coeficients sancers, usant els divisores del terme independent.

Vore també

• Operacions en polinomis
• Divisió llarga
• Divisió polinomial
• Algoritme de Horner
• Paolo Ruffini

Bibliografia

• (2007) «Operacions en polinomis», Curse bàsic de matemàtica i estadística: del bachillerat al grau, Espanya: Delta, pp. 64,65.
• Stapel, Elizabeth. «Synthetic Division: The Process» (en anglés). Purplemath. Consultat el 30 de novembre de 2011.