Conjectura dels número primo bessons

La conjectura dels primers bessons postula l'existència d'infinits parells de primers bessons. Dos número primo es denominen bessons si un d'ells és igual a l'atre més dos unitats. Aixina que, els número primo 3 i 5 formen una parella de primers bessons. Atres eixemples de parells de primers bessons són 11 i 13 o 41 i 43. Per tant, esta s'enuncia com:

Existix un número infinit de primers p tals que p + 2 també és primer.

La conjectura ha segut investigada per molts teòrics de números. La majoria de matemàtics creu que la conjectura és certa, i es basen en evidències numèriques i raonaments heurístics sobre la distribució provabilística dels número primo.

En 1849, Alphonse de Polignac va formular una conjectura més general segons la qual, per a tot número natural k existixen infinits parells de primers la diferència dels quals és 2·k. El cas k=1 és la conjectura dels número primo bessons.

Resultats parcials

En 1940, Erdös va mostrar que existix una constant c < 1 i infinits primers p tals que p - p < c·ln(p), a on p denota l'número primo que seguix a p. Este resultat va ser millorat successivament: en 1986 Maier va mostrar que podia amprar-se una constant c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz i Cem Yildirim varen conseguir un gran alvanç en 2005 en provar que el resultat és vàlit per a tota constant c>0.

En 1973, Jing-run Chen va publicar una prova de que existixen infinits número primo p tals que p+2 és un producte de, a lo més, dos factors primers. Per a conseguir este resultat es va basar en la cridada teoria de garbells, i va conseguir tractar la conjectura dels primers bessons i la conjectura de Goldbach de forma similar.

Conjectura de Hardy-Littlewood

També existix una generalisació de la conjectura dels primers bessons, coneguda com la conjectura de Hardy-Littlewood, sobre la distribució dels primers bessons, de forma anàloga al teorema dels número primo. Denote's com π₂(x) el número de primers p menors que x tals que p+2 també és primer. Definixca's la constant dels número primo C₂ com el següent producte de Euler

$C_2=\prod _{p\ge 3}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\approx 0,\mathrm{66016118158468695739278121100145...}$

per a cosins majors o iguals que tres. La conjectura diu que:

${\pi }_2(x)\sim 2C_2\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\ln t{)}^2}$

en el mateix sentit en que el cocient de les dos expressions tendix a 1 quan x tendix a infinit; és dir:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\pi }_2(x)}{2C_2\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\ln t{)}^2}}=1$

Esta conjectura pot justificar-se (pero no demostrar-se) si se supon, informalment parlant, que l'event que n no siga divisible per p i l'event que n+2 no siga divisible per p són estadísticament depenents només en la mida que el fet que n no siga divisible per p fa que p|n+2 siga un event entre p-1 events igualment provables, i no un event entre p events igualment provables. L'evidència numèrica que hi ha darrere de la conjectura de Hardy-Littlewood és certament impressionant.

Vore també

• Número primo bessons
• Constant de Brun