Constant de Brun

La constant de Brun, B₂, és el valor al que convergix la suma dels inversos dels número primo bessons:

$B_2=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{29}+\frac{1}{31})+\cdots$

En 1919 Viggo Brun va demostrar la convergència de la série. Açò contrasta en el fet de que la suma dels inversos de tots els número primo divergix. Si la série de Brun fora divergent, demostraria l'infinitat dels primers bessons (conjectura dels número primo bessons), pero com és convergent no és possible tal demostració. Calculant els primers bessons fins a 10¹⁴ (i al mateix temps descobrint l'error de divisió de l'Intel Pentium), Thomas Nicely va estimar la constant de Brun en 1,902160578. La millor estimació fins a l'actualitat és la de Pascal Sebah i Patrick Demichel publicada en l'any 2002, en tots els primers bessons fins a 10¹⁶:

B₂ ≈ 1,902160583104

També existix la constant de Brun per cosins cuádruples. Un primer cuádruple és dos parelles de primers bessons separats per 4 unitats (la distància més chicoteta possible). Els primers cosins cuádruples són (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) i (101, 103, 107, 109). Esta constant, B₄, és la suma dels inversos de tots els cosins cuádruples:

$B_4=(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+\cdots$

en un valor de:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005

Vore també

• Número primo bessons
• Conjectura dels número primo bessons