Teorema de Minkowski

Un conjunt en ℝ² que satisfà les hipòtesis de la teorema de Minkowski

En matemàtiques, la teorema de Minkowski afirma que qualsevol conjunt convexo de ℝⁿ simètric respecte a l'orige i en volum major que 2ⁿ conté un punt de retícul no nul. La teorema va ser demostrada per Hermann Minkowski en 1889 i es va convertir en la base de la branca de la teoria de números cridada geometria de números.

Formulació

Suponga's que L és un retícul en determinant d(L) en l'espai vectorial real de dimensió n, ℝⁿ, i S és un subconjunt convexo de ℝⁿ simètric respecte l'orige, és dir, que si x pertany a S llavors -x també pertany a S. La teorema de Minkowski declara que si el volum de S és estrictament major que 2ⁿ d(L), llavors S conté a lo manco un atre punt de la retícula ademés de l'orige. De fet, ya que S és simètric, contindrà a lo manco tres punts del retícul: l'orige i ±x a on x ∈ L 0.

Eixemple

L'eixemple més senzill d'un retícul és el conjunt ℤⁿ de tots els punts en coeficients sancers; el seu determinant és 1. Per a n = 2, la teorema afirma que una figura convexa en el pla euclideo simètrica respecte l'orige i en àrea major que 4 tanca a lo manco un punt de la retícula ademés del orige. La cota de l'àrea és important: Si S és l'interior del quadrat en vèrtiços (±1, ±1) llavors S és simètric, convexo i la seua àrea és exactament 4, pero l'únic punt de la retícula que conté és l'orige. Esta observació és general para hipercubos de dimensió n.