Geometria de números

La geometria de números és la part de la teoria de números que ampra la geometria per a l'estudi dels número algebraico. Per lo general, un anell d'número algebraico es veu com un retícul en $ℝ^{n},$ i l'estudi d'estos retículs proporciona informació fonamental sobre els número algebraico.^[1] La geometria dels números va ser iniciada per Hermann Minkowski (1910).

La geometria dels números té una estreta relació en atres camps de les matemàtiques, especialment en l'anàlisis funcional i l'aproximació diofántica, el problema de trobar número racional que s'aproximen a una cantitat irracional.^[2]

Els resultats de Minkowski

Artícul principal → Teorema de Minkowski.

Suponga's que $Γ$ és un retícul en l'espai euclídeo $n$ de dimensió $ℝ^{n}$ i $K$ és un cos convexo centralmente simètric. El teorema de Minkowski, a voltes cridat la primera teorema de Minkowski, establix que si $vol (K) > 2^{n} vol (ℝ^{n} / Γ)$ , llavors $K$ conté un vector no nul en $Γ$ .

Artícul principal → Segona Teorema de Minkowski.

El $λ_{k}$ mínim successiu es definix com l'inf dels números $λ$ de manera que $λ K$ conté $k$ vectores linealmente independents de $Γ$ . La teorema de Minkowski sobre segona Teorema de Minkowski, a voltes cridat Segona Teorema de Minkowski, és un reforç de la seua primera teorema i establix que^[3]

λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} vol (K) \leq 2^{n} vol (ℝ^{n} / Γ) .

Investigacions posteriors en la geometria de números

En 1930-1960, molts teòrics de números (inclosos Louis Mordell, Harold Davenport i Carl Ludwig Siegel) varen realisar investigacions sobre la geometria dels números. En anys posteriors, Lenstra, Brion i Barvinok han desenrollat teories combinatòries que enumeren els punts de la ret en alguns cossos convexos.^[4]

Teorema del subespacio de W. M. Schmidt

Artícul principal → Teorema del subespacio.

Vore també: Lema de Siegel, Volum, Determinant, i Paralelepípede

En geometria de números, el teorema del subespacio va ser obtingut per Wolfgang M. Schmidt en 1972.^[5] Establix que si n és un sancer positiu, i L₁,...,L_n són formes llineals linealmente independents en n variables en coeficients algebraics i si ε>0 és qualsevol número real dau, llavors el sancer distint de zero apunta x en n coordenades en

| L_{1} (x) \dots L_{n} (x) | < | x |^{- ε}

es troben situats en un número finito de subespacios propis de Qⁿ.

Referències

↑ MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.
↑ Schmidt's books. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
↑ Cassels (1971) p. 203
↑ Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász, and Beck and Robins.
↑ Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551. Vegen-se també els llibres de Schmidt; comparar Bombieri i Vaaler i també Bombieri i Gubler.

Bibliografia

Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.

Enrico Bombieri. “On Siegel's lemma”. Inventiones Mathematicae 73 (1): 11–32. doi:10.1007/BF01393823. Bibcode: 1983InMat..73...11B.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
(Republished in 1964 by Dover.)
Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
Lenstra, A. K. (1982). “Factoring polynomials with rational coefficients”. Mathematische Annalen 261 (4): 515–534. doi:10.1007/BF01457454.
Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Séries in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Plantilla:Springer
(1910).«Geometrie der Zahlen».R. G. Teubner.Leipzig and Berlin:
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd edició (vol. 1467), Springer Science+Business Mija. ISBN 3-540-54058-X.
Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers, Springer Science+Business Mija.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi:10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi:10.2307/1989946

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría de números» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.

[2] Schmidt's books. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.

[3] Cassels (1971) p. 203

[4] Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász, and Beck and Robins.

[5] Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551. Vegen-se també els llibres de Schmidt; comparar Bombieri i Vaaler i també Bombieri i Gubler.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]