Segona Teorema de Minkowski

En matemàtiques, la segona teorema de Minkowski és un resultat en la geometria dels números sobre els valors presos per una norma en un látice i el volum de la seua cèlula fonamental.

Context

Siga K un cos tancat convexo centralmente simètric de volum positiu i finito en un espai Euclídeo n-dimensional ℝⁿ. El gauge o funcional de Minkowski de distància g respecte a K està definit per

$g(x)=\inf \{\lambda \in ℝ:x\in \lambda K\}.$

Conversament, donada una norma g en ℝⁿ, definim K com

$K=\{x\in {ℝ}^n:g(x)\le 1\}.$

Siga Γ un látice, o enreixat en ℝⁿ. Els mínims successius de K o g en Γ estan definits dejanto que el k-ésimo mínim successiu λ_k siga l'ínfim dels números λ tal que λK conté k vectores linearment independents de Γ. Tenim 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_n < ∞.

Enunciat

Els mínims successius satisfan lo següent

$\frac{2^n}{n!}\mathrm{vol}({ℝ}^n/\Gamma )\le {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\mathrm{vol}(K)\le 2^n\mathrm{vol}({ℝ}^n/\Gamma ).$