Número perfecte

Erro al crear miniatura:

Número perfecte

Archiu:Perfect number Cuisenaire rods 6 exact.svg

Ilustració per mig de les regletas de Cuisenaire de que el 6 té les propietats d'un número perfecte

Un número perfecte és un número sancer positiu que és igual a la suma de les seues divisores propis positius excloent-se a sí mateixa. Dit d'una atra forma, un número perfecte és aquell que és amic de sí mateixa.

Aixina, 6 és un número perfecte perque els seus divisores propis positius són 1, 2 i 3; i 6 = 1 + 2 + 3. Un divisor propi positiu d'un número és un factor positiu d'eixe número que no siga el propi número. Per eixemple, els divisores propis de 6 són 1, 2 i 3, pero no 6. Els següents número perfecte són 28, 496 i 8128.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Història

El matemàtic Euclides va descobrir que els quatre primers número perfecte vénen daus per la fòrmula $2^{n-1}\cdot (2^n-1)$:

n = 2:   2¹ × (2² − 1) = 6

n = 3:   2² × (2³ − 1) = 28

n = 5:   2⁴ × (2⁵ − 1) = 496

n = 7:   2⁶ × (2⁷ − 1) = 8128

En donar-se conte de que 2ⁿ − 1 és un número primo en cada cas, Euclides va demostrar que la fòrmula 2^{n − 1}(2ⁿ − 1) genera un número perfecte parell sempre que 2ⁿ − 1 és primer.

Els matemàtics de l'Antiguetat varen fer moltes suposicions sobre els número perfecte basant-se en els quatre que ya coneixien. Moltes d'estes suposicions han resultat ser falses. Una d'elles era que, com 2, 3, 5 i 7 eren precisament els quatre primers número primo, el quint número perfecte s'obtindria en n = 11, el quint número primo. No obstant, 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 no és primer i per tant n = 11 no genera un número perfecte. Dos de les atres suposicions equivocades eren:

1. El quint número perfecte tindria cinc dígits, ya que els quatre primers tenen 1, 2, 3 i 4, respectivament.
2. Els número perfecte terminarien alternativament en 6 i en 8.

El quint número perfecte (33 550 336) té 8 dígits, contradient aixina la primera suposició. Sobre la segona, el quint número perfecte acaba en 6, pero també el sext (8 589 869 056) termina en 6. (El que l'última sifra d'un número perfecte parell expressat en base 10 sempre siga 6 o 8 no és difícil de demostrar).

Va ser en 1603 quan Pietro Cataldi va trobar els número perfecte sext i sèptim, 2¹⁶(2¹⁷ − 1) = 8 589 869 056 i 2¹⁸(2¹⁹ − 1)= 137 438 691 328.

És veritat que si 2ⁿ − 1 és un número primo, llavors n també deu ser primer, pero el recíproc no és necessàriament cert. Hui en dia, als número primo generats per la fòrmula 2ⁿ − 1 li'ls coneix com número primo de Mersenne, en honor al monge de el XVII Marin Mersenne, qui va estudiar teoria de números i número perfecte.

Posteriorment, Leonhard Euler va demostrar en el XVIII que tots els número perfecte pares es generen a partir de la fòrmula que ya va descobrir Euclides: Teorema de Euclides-Euler.

No es coneix l'existència d'número perfecte impars. No obstant, existixen alguns resultats parcials al respecte. Si existix un número perfecte impar deu ser major que 10³⁰⁰, deu tindre a lo manco 8 factors primers distints (i a lo manco 11 si no és divisible per 3). Un d'eixos factors deu ser major que 10⁷, dos d'ells deuen ser majors que 10 000 i tres factors deuen ser majors que 100.

El 12 d'octubre de 2024, en descobrir-se l'número primo més gran 2^{136 279 841} − 1 ( o M_{136 279 841} en la notació usual), es va obtindre llavors el major número perfecte trobat fins a eixa data, número 52 de la llista, en 82.048.640 dígits:

2^{136 279 840} (2^{136 279 841} − 1)

El cosí mencionat va ser descobert per Luke Durant com a part del proyecte Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Atres propietats dels número perfecte pares

Són números triangulars

Un número triangular és de la forma $\frac{n^2+n}{2}$, a on «n» és un número entero positiu qualsevol distint de zero. Si partim de l'identitat $2^{p-1}(2^p-1)=\frac{(2^p-1)+1}{2}(2^p-1)$ i distribuïm el producte del segon membre obtenim:

$2^{p-1}(2^p-1)=\frac{{(2^p-1)}^2+(2^p-1)}{2}$.

L'expressió $2^p-1$ és un número primo de Mersenne i veem que el terme dret de l'identitat adopta la forma corresponent a la definició de número triangular. Podem afirmar que un número perfecte parell és un número triangular i la seua orde és un número primo de Mersenne.

Són números combinatoris o coeficients del binomi

Com tots els números triangulars estan en la tercera columna del triàngul de Pascal i acabem de vore que tot número perfecte parell és un número triangular, els número perfecte són també números combinatoris. $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2^p}{2})$, a on $2^p$ és la potència corresponent a un número primo de Mersenne aumentat en una unitat.

Són números hexagonals

Un número hexagonal és de la forma $n(2n-1)=2n^2-n$, per a «n» un número entero positiu qualsevol distint de zero. Sorgix immediatament de l'identitat $2^{p-1}(2^p-1)=2^{p-1}(2\cdot 2^{p-1}-1)$, cridant «n» al número $2^{p-1}$.

Vore també

• Números amics
• Números sociables
• Número primo de Mersenne i número perfecte