Anar al contingut

Anex:Número primo de Mersenne i número perfecte

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6
Visualisació del 6 com a número perfecte.
Gràfic que representa els anys en l'eix d'abscisses i el número de dígits del major primer conegut logarítmicamente en l'eix d'ordenades, en dos llínees de tendència.
Gràfic logarítmic del número de dígits del major primer conegut per any, casi tots els quals han segut primers de Mersenne.

Els número primo de Mersenne i els número perfecte són dos tipos de número natural profundament interrelacionados en la teoria de números. Els número primo de Mersenne, que deuen el seu nom al flare Marin Mersenne, són número primo que poden expressar-se com 2p − 1 per a algun número entero positiu p. Per eixemple, el 3 és un cosí de Mersenne, ya que és un número primo i es pot expressar com 22 − 1.[1][2] Els números p corresponents als cosins de Mersenne deuen ser a la seua volta primers, encara que no tots els primers p conduïxen a cosins de Mersenne; per eixemple, 211 − 1 = 2047 = 23 × 89.[3] Per la seua banda, els número perfecte són número natural que equivalen a la suma de les seues divisores propis positius, que són els divisores que exclouen al propi número. Aixina, 6 és un número perfecte perque els divisores propis de 6 són 1, 2 i 3, i 1 + 2 + 3 = 6.[2][4]


Existix una correspondència unívoca entre els cosins de Mersenne i els número perfecte pares. Açò es deu al teorema de Euclides-Euler, demostrat parcialment per Euclides i completat per Leonhard Euler: els número par són perfectes si i només si poden expressar-se de la forma 2p − 1 × (2p − 1), a on 2p − 1 és un cosí de Mersenne. En atres paraules, tots els números que s'ajusten a eixa expressió són perfectes, mentres que tots els número par perfectes s'ajusten a eixa forma. Per eixemple, en el cas de p = 2, 22 − 1 = 3 és primer, i 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 és perfecte.[1][5][6]

Actualment és un problema obert si existix un número infinit d'número primo de Mersenne i número perfecte pares.[2][6] La freqüència dels número primo de Mersenne és objecte de la conjectura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff, que afirma que el número esperat d'número primo de Mersenne menors que x és (iγ / log 2) × log log x, a on i és el número de Euler, γ és la constant de Euler i log és el logaritmo natural.[7][8][9] Tampoc se sap si existixen número perfecte impars; s'han demostrat vàries condicions sobre possibles número perfecte impars, incloent un llímit inferior de 101500.[10]


En 2025, es coneixien 52 cosins de Mersenne (i, per tant, número perfecte), els 18 majors dels quals han segut descoberts pel proyecte de computació distribuïda per GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search; Gran Busca d'Número primo de Mersenne per Internet).[2] Els nous cosins de Mersenne es troben utilisant la prova de Lucas-Lehmer (LLT; Lucas–Lehmer test), una prova de primalidad per als cosins de Mersenne que és eficient per als ordenadors binarios.[2]

Els rancs mostrats estan entre els índexs coneguts actualment fins a 2022; encara que és poc provable, els rancs poden canviar si es descobrixen atres més menuts. Segons GIMPS, totes les possibilitats menors que el 49º exponent de treball p = 74.207.281 han segut verificades fins a giner de 2025.[11] L'any de descobriment i el descobridor corresponen al cosí de Mersenne, ya que l'número perfecte se seguix immediatament per la teorema de Euclides–Euler. Els descobridors denominats com "GIMPS / nom" es referixen a descobriments de GIMPS en hardware utilisat per eixa persona. Les entrades posteriors són extremadament llargues, per lo que solament es mostren els primers i últims sis dígits de cada número.

Taula dels 51 número primo de Mersenne actualment coneguts i els seus corresponents número perfecte
Ranc p Primer de Mersenne Sifres del cosí de Mersenne Número perfecte Sifres de l'número perfecte Data descobriment Descobridor Método Abreviatura [12]
1 2 3 1 6 1 Antiguetat[nota 1] Conegut pels matemàtics de l'antiga Grècia Sense registre [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 Antiguetat[nota 1] [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 Antiguetat[nota 1] [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 Antiguetat[nota 1] [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 1200 aprox. - 1456[nota 2] Varis[nota 3] Divisió per tentativa [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588[nota 2] Pietro Cataldi [2][16]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][16]
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 Leonhard Euler Divisió de prova en restriccions modular [17][18]
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 Novembre de 1883 Ivan Pervushin Successió de Lucas [19]
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 Juny de 1911 Ralph Ernest Powers [20]
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1 de juny de 1914 [21]
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 10 de giner de 1876 Édouard Lucas [22]
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 30 de giner de 1952 Raphael M. Robinson LLT en SWAC[nota 4] [23]
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [23]
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770 25 de juny de 1952 [24]
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327 7 d'octubre de 1952 [25]
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373 9 d'octubre de 1952 [25]
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937 8 de setembre de 1957 Hans Riesel LLT en BESK[nota 5] [26]
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561 3 de novembre de 1961 Alexander Hurwitz LLT on IBM 7090[nota 6] [27]
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663 [27]
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834 11 de maig de 1963 Donald B. Gillies LLT en ILLIAC II[nota 7] [28]
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985 16 de maig de 1963 [28]
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751 2 de juny de 1963 [28]
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003 4 de març de 1971 Bryant Tuckerman LLT en IBM 360/91 [29]
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066 30 d'octubre de 1978 Landon Curt Noll i Laura Nickel LLT on CDC Cyber 174[30] [31]
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973 9 de febrer de 1979 Landon Curt Noll [31]
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790 8 d'abril de 1979 Harry L. Nelson i David Slowinski LLT en Cray-1 [32][33]
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924 25 de setembre de 1982 David Slowinski [34]
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530 29 de giner de 1988 Walter Colquitt i Luke Welsh LLT en NEC SX-2 [35][36]
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502 19 de setembre de 1983 David Slowinski i uns atres (Cray) LLT en Cray X-MP [37]
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100 1 de setembre de 1985 LLT en Cray X-MP/24 [38][39]
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663 17 de febrer de 1992 LLT en el Laboratori Harwell Cray-2 [40]
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430 4 de giner de 1994 LLT en Cray C90 [41]
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263 3 de setembre de 1996 LLT en Cray T94 [42][43]
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842 13 de novembre de 1996 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 en 90 MHz Pentium PC [44]
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864 24 d'agost de 1997 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 en una computadora Pentium de 100 MHz [45]
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050 27 de giner de 1998 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 en una computadora Pentium de 200 MHz [46]
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919 1 de juny de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 en una computadora IBM Aptiva en un processador Pentium II de 350 MHz [47]
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892 14 de novembre de 2001 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 en una computadora en un processador Athlon T-Bird de 800 MHz [48]
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858 17 de novembre de 2003 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 en una computadora Dell Dimension en un processador Pentium 4 de 2 GHz [49]
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465 15 de maig de 2004 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 en una computadora en un processador Pentium 4 de 2.4 GHz [50]
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458 18 de febrer de 2005 GIMPS / Martin Nowak [51]
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103 15 de decembre de 2005 GIMPS / Curtis Cooper i Steven Boone LLT / Prime95 en una computadora de l'Universitat Central de Misuri [52]
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714 4 de setembre de 2006 [53]
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543 6 de setembre de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 en una computadora [54]
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127 4 de juny de 2009[nota 8] GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 en una computadora en un processador

Intel Core 2 de 3 GHz

[55]
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377 23 d'agost de 2008 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 en una computadora Dell OptiPlex en un processador

Intel Core 2 Duo E6600

[54][56][57]
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340 25 de giner de 2013 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 en una computadora de l'Universitat Central de Misuri [58][59]
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235 7 de giner de 2016[nota 9] GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 en una computadora en un processador Intel Core i7-4790 [60][61]
* 74.340.751 Fita més baixa sense verificar[nota 10]
50[nota 11] 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850 26 de decembre de 2017 GIMPS / Jonathan Pastura LLT / Prime95 en una computadora en un processador Intel Core i5-6600 [62][63]
51[nota 11] 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095 7 de decembre de 2018 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 en una computadora en un processador Intel Core i5-4590T [64][65]
52[nota 11] 136.279.841 881694...871551 41.024.320 388692...008576 82.048.640 12 d'octubre de 2024 GIMPS / Luke Durant LLT / PRPLL en la GPU Nvidia H100[nota 12] [66]
* 137.750.177 Fita més baixa sense provar[nota 10]

Històricament, el major número primo conegut ha segut a sovint un cosí de Mersenne.

Es poden observar patrons en les últimes sifres dels número primo de Mersenne i els corresponents número perfecte anteriors, pero són simples propietats dels números impars de Mersenne i no depenen del seu primalidad.


Multiplicar per 2 genera un cicle de llongitut 4 mòdul 5 (1, 2, 4, 3, repetir). Aixina, 24k ±1 ≡ ±2 (mod 5). Com açò també és múltiple de 4 per a k > 0, 24k ±1 ≡ ±12 (mod 20). Aixina, tots els números de Mersenne M4k +1 són congruents en 11 mòdul 20 i terminen en 11, 31, 51, 71 o 91, mentres que els números de Mersenne M4k −1 ≡ 7 (mod 20) i terminen en 07, 27, 47, 67 o 87.

Per als número perfecte, definim Pn = 2n−1Mn com el valor que és perfecte si Mn és primer. Quan n = 4k +1 i k > 0, 24k ≡ 16 (mod 20), per lo que Pn ≡ 16&claves;11 ≡ 16 (mod 20) i terminarà en 16, 36, 56, 76 o 96.

Quan n = 4k −1 i k > 0, 24k −2 ≡ 4 (mod 20), per lo que Pn ≡ 4&claves;7 ≡ 28 ≡ 8 (mod 20).

No obstant, en este cas, hi ha alguna cancelació fortuïta entre els dos factors de Pn mòdul 25, lo que resulta en P4k −1 ≡ 3 (mod 25). Combinat en el fet de que P4k −1 és múltiple de 8 sempre que k > 1, tenim que P4k −1 ≡ 128 (mod 200) i termina en 128, 328, 528, 728 o 928. (P3 = 28 només és múltiple de 4, no de 8, per lo que només és igual als demés mòdul 100).

Notes

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Els quatre primers número perfecte varen ser documentats per Nicómaco cap a l'any 100, i Euclides ya coneixia el concepte (junt en els corresponents cosins de Mersenne) en l'época de les seues "Elements". No hi ha constància del seu descobriment.
  2. ↑ 2,0 2,1 És possible que matemàtics islàmics com Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) conegueren els número perfecte del cinc al sèt abans dels registres europeus. «Perfect numbers» (en anglés).
  3. ↑ Es troba en un manuscrit anònim, Clm 14908, datat en 1456 i 1461, i en l'obra anterior de Ibn Fallus, que no va tindre gran difusió.«'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'» (en anglés). Dickson, 1919, pp. 4-6
  4. ↑ Standards Western Automatic Computer; Ordenador automàtic de normes occidentals.
  5. ↑ Binär Elektronisk SekvensKalkylator; Computadora de Seqüència Binaria.
  6. ↑ International Business Machines; Màquines de Negocis Internacionals.
  7. ↑ Illinois Automatic Computer; Computadora Automàtica Illinois.
  8. ↑ M42.643.801 va ser reportat per primera volta a GIMPS el 12 d'abril de 2009, pero no va ser vist per un humà fins al 4 de juny de 2009 per un error del servidor
  9. ↑ M74,207,281 va ser reportat per primera volta a GIMPS el 17 de setembre de 2015, pero no va ser vist per un humà fins al 7 de giner de 2016 per un error del servidor.
  10. ↑ 10,0 10,1 A 10 de juliol de 2025.(«GIMPS Milestones Report» (en anglés). Great Internet Mersenne Prime Search. Archivat des d'el original, el 13 d'octubre de 2021.) Tots els exponents per baix de la fita més baixa no verificat s'han comprovat més d'una volta. Tots els exponents per baix de la fita més baixa sense verificar s'han comprovat a lo manco una volta.
  11. ↑ 11,0 11,1 11,2 No s'ha comprovat si existixen cosins de Mersenne per descobrir entre el 49º (M74.207.281) i el 52º (M136.279.841) d'esta taula; per tant, la classificació és provisional.
  12. ↑ Detectat per primera volta com provable primer per mig de la prova de primalidad de Fermat en una GPU Nvidia A100 l'11 d'octubre de 2024.

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (en anglés), Springer Science+Business Mija, pp. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Caldwell, Chris K.. «Mersenne Primes: History, Theorems and Lists» (en anglés).
  3. ↑ Caldwell, Chris K.. «If 2n-1 is prime, then baix is n» (en anglés).
  4. ↑ “Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers” . The Mathematics Teacher 63 (8): 692-96. doi:10.5951/MT.63.8.0692.
  5. ↑ Caldwell, Chris K.. «Characterizing all even perfect numbers» (en anglés).
  6. ↑ 6,0 6,1 Crilly, Tony (2007). «Perfect numbers», 50 mathematical idees you really need to know (en anglés), Quercus Publishing. ISBN 978-1-84724-008-8.
  7. ↑ Caldwell, Chris K.. «Heuristics Model for the Distribution of Mersennes» (en anglés).
  8. ↑ “Divisors of Mersenne numbers” (anglés) . Mathematics of Computation 40 (161): 385-397. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. ISSN 0025-5718.
  9. ↑ “Recent developments in primality testing” (anglés) . The Mathematical Intelligencer 3 (3): 97-105. doi:10.1007/BF03022861. ISSN 0343-6993.
  10. ↑ “Odd perfect numbers llaure greater than 101500” (anglés) . Mathematics of Computation 81 (279): 1869-1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718.
  11. ↑ «GIMPS Milestones Report» (en anglés).
  12. ↑ Fonts aplicables a casi totes les categories:
  13. ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 Joyce, David E.. «Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36» (en anglés).
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 Dickson, Leonard Eugene (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I (en anglés), Carnegie Institution of Washington, pp. 4-6.
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 Smith (1925). History of Mathematics (en anglés), Dover, pp. 21. ISBN 978-0-486-20430-7.
  16. ↑ 16,0 16,1 Cataldi, Pietro Antonio (1603). Trattato de' numeri perfetti vaig donar Pietro Antonio Cataldo (en italià), Presso vaig donar Heredi vaig donar Giouanni Rossi.
  17. ↑ Caldwell, Chris K.. «Modular restrictions on Mersenne divisors» (en anglés).
  18. ↑ “Extrait d'un lettre de M. Euler li pere à M. Bernoulli concernant li Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318” (Francés) . Nouveaux Mémoires de l'académie royale dones sciences de Berlin 1772: 35-36.
  19. ↑ “Sur un nouveau nom premier, annoncé parell li père Pervouchine” (Francés) . Bulletin de l'Académie impériale dones sciences de St.-Pétersbourg 31: 532-533.
  20. ↑ “The Tenth Perfect Number” . The American Mathematical Monthly 18 (11): 195-197. doi:10.2307/2972574.
  21. ↑ “Records of Proceedings at Meetings” . Proceedings of the London Mathematical Society 2-13 (1): 4-9. doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
  22. ↑ “Note sur l'application dones séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution dones noms premiers” (francés) . Comptes rendus de l'Académie dones Sciences 82: 165-167.
  23. ↑ 23,0 23,1 “Notes” (anglés) . Mathematics of Computation 6 (37): 58-61. doi:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. ISSN 0025-5718.
  24. ↑ “Notes” (anglés) . Mathematics of Computation 6 (39): 204-205. doi:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. ISSN 0025-5718.
  25. ↑ 25,0 25,1 “Notes” (anglés) . Mathematics of Computation 7 (41): 67-72. doi:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. ISSN 0025-5718.
  26. ↑ “A New Mersenne Prime” . Mathematics of Computation 12 (61): 60. doi:10.1090/S0025-5718-58-99282-2.
  27. ↑ 27,0 27,1 “New Mersenne primes” (anglés) (Abril de 1962). Mathematics of Computation 16 (78): 249-251. doi:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. ISSN 0025-5718.
  28. ↑ 28,0 28,1 28,2 “Three new Mersenne primes and a statistical theory” . Mathematics of Computation 18 (85): 93-97. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6.
  29. ↑ “The 24th Mersenne Prime” . Proceedings of the National Academy of Sciences 68 (10): 2319-2320. doi:10.1073/pnas.68.10.2319. PMID 16591945. Bibcode: 1971PNAS...68.2319T.
  30. ↑ Control Data Corporation; Corporació de Control de Senyes.
  31. ↑ 31,0 31,1 “The 25th and 26th Mersenne primes” (Octubre de 1980). Mathematics of Computation 35 (152): 1387. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4.
  32. ↑ “Searching for the 27th Mersenne prime” . Journal of Recreational Mathematics 11 (4): 258-261.
  33. ↑ Science Watch: A New Prime Number.
  34. ↑ “Announcements” (anglés) . The Mathematical Intelligencer 5 (1): 60. doi:10.1007/BF03023507. ISSN 0343-6993.
  35. ↑ “Priming for a Lucky Strike” . Science News 133 (6): 85. doi:10.2307/3972461.
  36. ↑ “A new Mersenne prime” . Mathematics of Computation 56 (194): 867. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9. Bibcode: 1991MaCom..56..867C.
  37. ↑ Number is largest prime found yet..
  38. ↑ “Prime Clave for Supercomputers” . Science News 128 (13): 199. doi:10.2307/3970245.
  39. ↑ Supercomputer Menges Up With Whopping Prime Number (in (anglés)).
  40. ↑ “The endless search for primality” (anglés) (26 de març de 1992). Nature 356 (6367): 283. doi:10.1038/356283a0. ISSN 1476-4687. Bibcode: 1992Natur.356..283M.
  41. ↑ Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer.
  42. ↑ Caldwell, Chris K.. «A Prime of Record Size! 21257787-1» (en anglés).
  43. ↑ Crunching numbers: Researchers menja up with prime math discovery.
  44. ↑ GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime..
  45. ↑ GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime..
  46. ↑ GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime..
  47. ↑ GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime..
  48. ↑ GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime..
  49. ↑ GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime..
  50. ↑ GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime..
  51. ↑ GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime..
  52. ↑ GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime..
  53. ↑ GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime..
  54. ↑ 54,0 54,1 GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime..
  55. ↑ GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime.
  56. ↑ Rare prime number found.
  57. ↑ Smith, Edson. «The UCLA Mersenne Prime» (en anglés). UCLA Mathematics.
  58. ↑ GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime..
  59. ↑ Yirka, Bob (6 de febrer de 2013). «University professor discovers largest prime number to dona't» (en anglés).
  60. ↑ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1.
  61. ↑ Largest known prime number discovered in Missouri (in (anglés)).
  62. ↑ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1.
  63. ↑ Lamb, Evelyn (4 de giner de 2018). «Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long» (en anglés).
  64. ↑ GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1.
  65. ↑ The World Has A New Largest-Known Prime Number (in (anglés)).
  66. ↑ «[2]». Consultat el 21 d'octubre de 2024 (en en).

Enllaços externs

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Anex:Número_primo_de_Mersenne_i_número_perfecte&oldid=822013»