Conjectura de Mersenne

En matemàtiques, les conjectura de Mersenne són un conjunt d'enunciats que es referixen a la caracterisació dels número primo d'una forma denominada número primo de Mersenne (aquells que són una potència de dos menys un).

Conjectura original de Mersenne

La proposició original, cridada conjectura de Mersenne, va ser formulada per Marin Mersenne en la seua Cogitata Physico-Mathematica de 1644 de que els números de la forma $2^n-1$ eren primers per a n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257, i eren composts para tots els demés número entero positius n ≤ 257. Pel tamany d'estos números, Mersenne no va poder provar-los tots, ni tampoc atres matemàtics del XVII. Finalment es va determinar, despuix de tres sigles i la disponibilitat de noves tècniques com el test de Lucas-Lehmer, que la conjectura de Mersenne incloïa cinc errors, a saber, dos dels seus números són composts (els corresponents als primers n = 67, 257) i atres tres cosins en contra de la conjectura (els corresponents als primers n = 61, 89, 107). La llista correcta és: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 i 127.

Si be la conjectura original de Mersenne és falsa, pot haver donat lloc a la Nova conjectura de Mersenne.

Nova conjectura de Mersenne

Estat de la nova conjectura de Mersenne
per als 100 primers número primo

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
Clau:
Rojo: p és de la forma 2n±1 o 4n±3					Fondo cian: 2p-1 és primer
Cursiva: (2p+1)/3 és primer					Negreta: p satisfà a lo manco una condició

La nova conjectura de Mersenne o conjectura de Bateman, Selfridge i Wagstaff (Bateman et al. 1989) establix que per a qualsevol número natural impar p, si es complixen dos de les següents condicions , llavors també ho fa el tercer:

1. p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 per a algun número natural k [1]
2. 2^p − 1 és primer (un número primo de Mersenne) [2]
3. (2^p + 1) / 3 és primer (un número primo de Wagstaff) [3]

Si p és un número compuesto impar, llavors 2^p − 1 i (2^p + 1)/3 són abdós composts. Per lo tant, solament és necessari provar número primo per a verificar la veritat de la conjectura.

Actualment, els números coneguts per als que es complixen les tres condicions són: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 [4]. També és una conjectura que cap número major que 127 satisfà les tres condicions. A partir de febrer de 2020, es coneixen tots els número primo de Mersenne fins a 2^43112609−1, i per a cap d'ells es complix la tercera condició, llevat para els que s'acaben de mencionar.

Els número primo que complixen a lo manco una condició són:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521 , 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... [5]

Tinga's en conte que els dos cosins per als que la conjectura de Mersenne original és falsa (67 i 257) satisfan la primera condició de la nova conjectura (67=2⁶+3, 257=2⁸+1), pero no les atres dos. 89 i 107, que Mersenne va passar per alt, satisfan la segona condició pero no les atres dos. Mersenne va poder haver pensat que 2^p − 1 és primer solament si p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 per a algun número natural k, pero si haguera pensat que era "bicondicional" hauria inclós el 61.

La nova conjectura de Mersenne pot considerar-se com un intent de salvar la conjectura de Mersenne de sigles d'antiguetat, que és falsa. No obstant, segons Robert D. Silverman, John Selfridge va estar d'acort en que la nova conjectura de Mersenne és "òbviament certa", ya que va ser elegida per a ajustar-se a les senyes conegudes, i contraeixemples més allà d'eixos casos són extremadament improvables. Pot considerar-se més com una observació curiosa que com una pregunta oberta que necessita ser demostrada.

Renaud Lifchitz ha demostrat que la nova conjectura de Mersenne és certa para tots els número entero menors o iguals a 32582656 en provar sistemàticament tots els número primo per als que ya se sap que es complix una de les condicions.La pàgina web Prime Numbers documenta la verificació de resultats fins a este número. Una atra pàgina d'estat actualment més actualisada és The New Mersenne Prime conjecture.

Vore també

• Conjectura de Gillies sobre la distribució de números de factors primers dels números de Mersenne
• Test de Lucas-Lehmer
• Test de Lucas
• Número doble de Mersenne
• Lleis de Mersenne
• Número primo de Mersenne i número perfecto

Bibliografia

• Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.