Número doble de Mersenne

En matemàtiques, un número doble de Mersenne és un número de Mersenne de la forma

$M_{M_n}=2^{M_n}-1=2^{2^n-1}-1$

a on l'exponent $2^n-1$ és a la seua volta el número de Mersenne $M_n$, en n natural.

Números dobles de Mersenne primers

A sovint es consideren solament els números dobles de Mersenne que són primers.

Com un número de Mersenne $M_p$ és primer solament si $p$ és primer (pot vore la demostració en l'artícul "Número de Mersenne"), es té que un número doble de Mersenne $M_{M_p}$ és primer solament si $M_p$ és a la seua volta un número primo de Mersenne.
Els primers valors de p per als quals $M_p$ és primer són p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. D'ells, se sap que $M_{M_p}$ és primer per a p = 2, 3, 5, 7. Per a p = 13, 17, 19 i 31, s'han trobat factors de forma explícita, en lo que està demostrat que els números dobles de Mersenne corresponents són composts. Per tant, el candidat més chicotet per a ser un número doble de Mersenne primer és $M_{M_{61}}$, és dir, 2^{2305843009213693951} − 1. En aproximadament 6,94 × 10¹⁷ sifres, este número és massa gran per a qualsevol test de primalidad dels que es coneixen en l'actualitat, encara que se sap que no té cap factor primer menor que 4 × 10³³.

He ací la llista dels números dobles de Mersenne primers que es coneixen en l'actualitat:

$M_{M_2}=M_3=7$

$M_{M_3}=M_7=127$

$M_{M_5}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_7}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ Plantilla:OEIS

El següent candidat més chicotet per a convertir-se en el pròxim doble primer de Mersenne és $M_{M_{61}}$, o 2^{2305843009213693951} − 1. Sent aproximadament 1.695Plantilla:I, este número és massa gran per a qualsevol test de primalidad actualment conegut. No té factor primer per baix de 1 × 10³⁶.

Es conjectura en que provablement no hi haja atres cosins de Mersenne dobles ademés dels quatre coneguts.

Els factors primers més menuts de cada $M_{M_p}$ (a on p és el n-ésimo número primo) són els factors següents:

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617 ... (s'ha comprovat que el següent menor terme primer té que ser > 1 × 10³⁶) Plantilla:OEIS

Números de Catalan-Mersenne

Siga $M(p)=M_p$. La successió definida de forma recursiva com:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... Plantilla:OEIS

es coneix com la successió dels números de Catalan-Mersenne. Es diu que a Catalan se li va ocórrer esta successió despuix de descobrir Lucas en 1876 que $M(127)=M(M(M(M(2))))$ era primer.

Encara que els primers cinc térmens són primers, cap método conegut pot provar que qualsevol atre terme siga primer (en un temps raonable) simplement perque són números massa grans. No obstant, si $c_5$ no és primer, existix la possibilitat de descobrir-ho calculant el mòdul de $c_5$ respecte a algun cosí menut $p$ (usant l'exponenciación modular recursiva). Si el residu resultant és zero, $p$ representa un factor de $c_5$ i, per lo tant, refutaría el seu primalidad. Ya que $c_5$ és un número primo de Mersenne, dit factor primer $p$ tindria que ser de la forma $2k{c}_4+1$. Ademés, degut a que $2^n-1$ és compost quan $n$ és compost, el descobriment d'un terme compost en la seqüència descartaria la possibilitat de més número primo en la seqüència.

Vore també

• Cadena de Cunningham
• Funció doble exponencial
• Número de Fermat
• Número perfecte
• Número primo de Wieferich
• Número primo de Mersenne i número perfecte

Bibliografia

• L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpreso per Chelsea Publishing, Nova York, 1971.