Número primo de Wieferich

En matemàtiques, un número primo de Wieferich és un número primo $p$ tal que $p^{2}$ dividix a $2^{p - 1} - 1$ . Note's la similitut en el menuda teorema de Fermat, que afirma que cada número primo $p$ dividix a $2^{p - 1} - 1$ . Els primers número primo de Wieferich varen ser descrits per primera volta per Arthur Wieferich en 1909 en els seus treballs relatius al última teorema de Fermat.

L'investigació dels número primo de Wieferich

Els únics números de Wieferich coneguts són 1093 i 3511 Plantilla:OEIS, trobats per W. Meissner en 1913 i N. G. W. H. Beeger en 1922, respectivament; si existixen uns atres, deuen ser majors que $1, 25 \cdot 1 0^{15}$ .^[1] S'ha conjeturado que solament existix un número finito d'número primo de Wieferich, encara que J. H. Silverman va demostrar en 1988 que si la conjectura abc és vàlida, per a tot número entero positiu $a > 1$ , existixen infinits número primo $p$ tal que $p^{2}$ no dividix a $a^{p - 1} - 1$ .

Propietats dels número primo de Wieferich

Números de Wieferich i números de Mersenne

Un número de Mersenne és definit com $M_{q} = 2^{q} - 1$ (a on $q$ és primer) i pel menuda teorema de Fermat se sap que $M_{p - 1} = 2^{p - 1} - 1$ és sempre divisible per un número primo $p$ . Encara més, podria ser que $q$ fora un factor primer de $p - 1$ , inclús $M_{q} < M_{p - 1}$ és divisible per $p$ .

De la definició d'un número $w$ cosí de Wieferich, tenim que $2^{w - 1} - 1$ és divisible entre $w^{2}$ i no solament entre $w$ . $q$ podria ser un factor de $w - 1$ , i $M_{q}$ encara divisible entre $w$ ; per lo que sorgix la pregunta de si existix un número de Mersenne $M_{q}$ que siga també divisible entre $w^{2}$ , o inclús ser ell mateixa un cosí de Wieferich.

Pot demostrar-se que

Si

w^{2}

dividix a

2^{w - 1} - 1

, i

w

dividix a

M_{q} = 2^{q} - 1

, a on

q

és un divisor primer de

w - 1

Llavors també

w^{2}

deu dividir a

M_{q}

; per lo que

M_{q}

contindria un quadrat (i no podria ser primer).

Els dos cosins de Wieferich, $w = 1093$ i $w = 3511$ no satisfan la condició de divisibilidad per un número de Mersenne $M_{q}$ en exponent primer $q$ ; de fet es conjectura que cap cosí de Wieferich és un factor d'un número de Mersenne. Encara que no s'han trobat contraeixemples, es desconeix si l'afirmació és certa o no, per lo que sorgix la següent pregunta:

¿Són tots els números de Mersenne no quadrats?

Ya que qualsevol $M_{q}$ contenint un cosí de Wieferich $w$ deu contindre també $w^{2}$ , se seguix immediatament que no seria primer. Llavors,

Un cosí de Mersenne no pot ser un cosí de Wieferich.

Generalisació ciclotòmica

Per a una generalisació ciclotòmica de la propietat dels cosins de Wieferich, $(n^{p} - 1) / (n - 1)$ divisible entre $w^{2}$ existixen solucions com

(3^{5} - 1) / (3 - 1) = 1 1^{2}

i inclús en exponents majors que dos, com en

(1 9^{6} - 1) / (19 - 1)

divisible entre

7^{3}

.

Atres propietats

Si $w$ és un cosí de Wieferich, llavors $2^{w^{2}} = 2 (\mod w^{2})$ .

Vore també

Referències i informació suplementària

↑ Busca de números de Wieferich (en anglés)

Bibliografia

A. Wieferich, "Zoom letzten Fermat'schen Theorem", Journal für Regne Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
N. G. W. H. Beeger, "On a new case of the congruence 2^{p − 1} = 1 (p²), Messenger of Math, 51 (1922), 149-150

W. Meissner, "Über die Teilbarkeit von 2p^p − 2 durch dones Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlín (1913), 663-667
J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30:2 (1988) 226-237

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número primo de Wieferich» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Busca de números de Wieferich (en anglés)

[1]