Punt de ramificació

Erro al crear miniatura:

Un gràfic de la part imaginària de valors múltiples de la funció de logaritmo complex, que mostra les branques. A mida que un número complejo z gira al voltant de l'orige, la part imaginària del logaritmo puja o baixa. Açò fa que l'orige siga un "punt de ramificació" de la funció

En el camp matemàtic del anàlisis complex, un punt de ramificació (o també punt de forcall) d'una funció multivaluada (generalment denominada "multifunción" en el context de l'anàlisis complex) és un punt en el que la funció és discontínua quan es recorre un circuit arbitrariamente menut al voltant d'este punt.Plantilla:Dubious Les funcions de valors múltiples s'estudien rigorosament utilisant superfícies de Riemann, i la definició formal de punts de ramificació ampra este concepte.

Els punts de ramificació es dividixen en tres categories àmplies: punts de ramificació algebraics, punts de ramificació transcendentals i punts de ramificació logarítmica. Els punts de ramificació algebraics sorgixen en major freqüència de funcions en les que existix una ambigüitat en l'extracció d'una raïl, com resoldre l'equació w² = z per a w com una funció de z. Ací, el punt de ramificació és l'orige, perque l'extensió analítica de qualsevol solució al voltant d'un recorregut tancat que conté l'orige donarà com resultat una funció diferent: es dona monodromía no trivial. A pesar de l'existència d'un punt de ramificació algebraica, la funció w està ben definida com una funció de valors múltiples, i en un sentit apropiat, és contínua en l'orige. Açò contrasta en els punts de ramificació logarítmics i transcendentals, és dir, els punts en els que una funció de valors múltiples té una monodromía no trivial i una singularitat essencial. En teoria de funcions geomètriques, l'us no calificat del terme "punt de forcall" normalment significa el tipo anterior més restrictiu: els punts de forcall algebraics. En atres àrees de l'anàlisis complex, el terme no calificat també pot referir-se als punts de ramificació més generals de tipo transcendental.

Àlgebra

Siga Ω un conjunt obert conexo en el pla complex C i ƒ:Ω → C una funció holomorfa. Si ƒ no és constant, llavors el conjunt de punts crítics de ƒ, és dir, els zeros de la derivada ƒ' (z), no té un punt d'acumulació en Ω. Aixina que cada punt crític z₀ de ƒ es troba en el centre d'un disc B(z₀, r) que no conté cap atre punt crític de ƒ en el seu tancament.

Siga γ el llímit de B(z₀, r), pres en la seua orientació positiva. l'índex de ƒ(γ) sobre el punt ƒ(z₀) és un número entero positiu cridat índex de ramificació de z₀. Si l'índex de ramificació és major que 1, llavors z₀ es denomina punt de ramificació de ƒ, i el corresponent valor crític ƒ(z₀) es diu un punt de ramificació (algebraic). De manera equivalent, z₀ és un punt de ramificació si existix una funció holomórfica φ definida en un veïnat de z₀ tal que ƒ(z) = φ(z) (z & minus; z₀)^k per a algun sancer positiu k > 1.

Normalment, ƒ no té interés per sí mateixa, sino la seua funció inversa. No obstant, l'inversa d'una funció holomórfica en el veïnat d'un punt de ramificació no existix correctament, per lo que és obligat definir-la en un sentit de múltiples valors com funció analítica global. Esta és una denominació ambigua, que es referix a un punt de ramificació w₀ = ƒ(z₀) de ƒ com un punt de ramificació de la funció analítica global ƒ⁻¹. Són possibles definicions més generals de punts de forcall per a atres tipos de funcions analítiques globals de valors múltiples, com les que es definixen implícitament. A continuació es proporciona un marc unificador per a tractar en tals eixemples en el llenguage de les superfícies de Riemann. En particular, en esta image més general, els pols d'orde major que 1 també es poden considerar punts de ramificació.

En térmens de la funció analítica global inversa ƒ⁻¹, els punts de ramificació són aquells punts al voltant dels quals hi ha monodromía no trivial. Per eixemple, la funció ƒ(z) = z² té un punt de ramificació en z₀ = 0. La funció inversa és la raïl quadrada ƒ⁻¹(w) = w^1/2, que té un punt de ramificació en w₀ = 0. De fet, donant el regrés al recorregut tancat w = i^iθ, es comença en θ = 0 i i^i0/2 = 1. Pero despuix de donar el regrés al bucle fins a θ = 2π, es té que i^2πi/2 = −1. Per lo tant, existix monodromía al voltant d'este bucle que tanca l'orige.

Punts de ramificació transcendental i logarítmica

Suponga's que g és una funció analítica global definida en una corona circular al voltant de z₀. Llavors g té un punt de ramificació transcendental si z₀ és una singularitat essencial de g tal que l'extensió analítica d'un element de la funció una volta al voltant d'una curva tancada simple que rodeja el punt z₀ produïx un element de la funció diferent.

Un eixemple d'un punt de ramificació transcendental és l'orige de la funció multivalor

$g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)$

per a algun número entero k > 1. Ací, el grup de monodromía per a un circuit al voltant de l'orige és finito. La continuació analítica al voltant de k circuits complets torna la funció a l'original.

Si el grup de monodromía és infinit, és dir, és impossible tornar a l'element de funció original per mig de la continuació analítica en una curva en un número de devanado distint de zero al voltant de z₀, llavors el punt z₀ es diu un punt de ramificació logarítmica. Açò es diu aixina perque l'eixemple típic d'este fenomen és el punt de ramificació del logaritmo complex en l'orige. Anant una volta en sentit antihorario al voltant d'una curva tancada simple que rodeja l'orige, el logaritmo complex s'incrementa en 2πi. Rodejant un bucle en un número de espiras w, el logaritmo s'incrementa en 2πi w i el grup de monodromía és el grup cíclico infinit $\mathbb{Z}$.

Els punts de ramificació logarítmica són casos especials de punts de ramificació transcendentals.

No existix una noció corresponent de ramificació per als punts de ramificació transcendentals i logarítmics, ya que la superfície de Riemann de cobertura associada no pot continuar analíticamente fins a una cobertura del punt de ramificació en sí mateixa. Per lo tant, estes cobertes sempre estan desramificadas.

Bibliografia

• (2003).«Complex Variables: Introduction and Applications».Cambridge University Press.
• (1979).«Complex Analysis».McGraw-Hill.New York:
• (2000).«Mathematical Methods for Physicists».Academic Press.Boston, MA:
• (1977).«Algebraic Geometry».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• (1965).«Theory of functions of a complex variable. Vol. I».Prentice-Hall Inc..Englewood Cliffs, N.J.:
• Plantilla:Springer