Equació diferencial estocàstica

Dos instàncies de camins brownianos geomètrics, en diferents paràmetros que són solucions de l'equació diferencial escocástica llineal de Itō. La llínea blava presenta un arrastre major, mentres que la llínea verda presenta una major varianza.

Una equació diferencial estocàstica (EDE) és una equació diferencial en la qual un o més dels seus térmens és un procés estocàstic i la solució del qual és també un procés estocàstic. Les equacions diferencials estocàstiques s'utilisen per a modelar diversos fenomens com els preus de les accions. Usualment, les equacions diferencials estocàstiques tenen soroll blanc que pot ser interpretat com la derivada del moviment browniano o del procés de Wiener. No obstant, deu mencionar-se que un atre tipo de fluctuacions aleatòries són possibles com el procés de bot.

Introducció

El primer treball relacionat en les equacions diferencials estocàstiques va ser la descripció del moviment browniano feta per Albert Einstein (1905). Simultàneament Marian Smoluchowski va treballar sobre el mateix tema. No obstant, un atre dels primers treballs relacionats és el treball del Louis Bachelier (1900) en el seu tesis doctoral Teoria de l'Especulació, dedicada a les fluctuacions de títuls bossístics. Este treball va ser secundat per Paul Langevin i posteriorment Kiyoshi Itō i Ruslan L. Stratonovich varen formular de manera rigorosa la noció d'equació diferencial estocàstica (EDS).

Terminologia

En física, les equacions diferencials estocàstiques (EDS) s'escriuen com equacions de Langevin. Per això a voltes es denominen de manera alguna cosa confusa "equacions de Langevin" encara que existixen moltes formes alternatives. Estes formes inclouen equacions diferencials ordinàries que contenen una part determinista junt a un terme adicional aleatori que és un soroll blanc. Una segona forma és l'equació de Smoluchowski o més en general equació de Fokker-Planck, estes últimes són equacions en derivades parcials que descriuen l'evolució de la funció de densitat de provabilitat associada a la solució de l'equació estocàstica. La tercera forma és la quecuantiativas (vore més avall). Esta forma és similar a la forma de Langevin, pero s'escriu usualment en forma diferencial. Les equacions diferencials estocàstiques apareixen en dos varietats, corresponent-se en les dos tipos de càlcul estocàstic.

Càlcul estocàstic

La teoria matemàtica del moviment browniano i els processos de Wiener donen lloc a un tipo d'evolució matemàtica extremadament complexa. Un procés de Wiener en l'espai euclídeo dona lloc a una curva contínua que és casi en seguritat no diferenciable en cap punt, per tant, requerix definir les seues pròpies regles de càlcul. Existixen dos formes diferents d'abordar el càlcul estocàstic, el cridat càlcul estocàstic de Itō i el càlcul estocàstic de Stratonovich. Cada u dels dos enfocaments presenta ventages i desventages, i els neófitos freqüentment experimenten dificultats sobre cual de les dos formes és més apropiades per a una determinada situació. Si be existixen algunes recomanacions generals per a l'elecció (i.g. Øksendal, 2003), sempre és possible convertir un problema en la forma de Itō en un problema equivalent en la forma de Stratonovich i viceversa. Aixina i tot un deu ser cuidadós en l'enfocament adequat en escriure l'equació diferencial estocàstica de partida.

Solucions numèriques

Les solucions numèriques d'equacions diferencials, especialment en el cas d'equacions diferencials estocàstiques en derivades parcials és un àrea relativament nova. Casi tots els algoritmes que s'usen per a la solució d'equacions diferencials ordinàries funcionen inadecuadamente per a les equacions diferencials estocàstiques, presentant freqüentment una convergència molt mala. Un llibre de text estàndar que ilustra varis dels algoritmes existents és Kloeden & Platen (1995).

Entre els métodos numèrics usats estan el método de Euler-Maruyama i el método de Runge-Kutta per a EDE.

Equació diferencial de Itō

Un dels primers eixemples històrics d'equació diferencial és l'equació diferencial de Itō proposta en els anys 1940. L'equació involucra una variable aleatòria $X_t$ els increments de la qual en el temps vénen daus per una part determinista més una part aleatòria donada per un procés de Wiener

$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\sigma (X_t,t)d{W}_t,$

a on $W_t$ és el procés de Wiener (o moviment browniano estandardisat). Esta equació deu ser interpretada com una expressió informal, que és rigorosament interpretable en forma d'equació integral

$X_{t+s}-X_t=\underset{t}{\overset{t+s}{\int }}\mu (X_u,u)du+\underset{t}{\overset{t+s}{\int }}\sigma (X_u,u)d{W}_u.$

a on l'última de les integrals és una integral de Itō, mentres que la primera és simplement una integral de Riemann.

Vore també

• Procés estocàstic
• Moviment browniano
• Moviment Browniano geomètric
• Cadena de Márkov
• Procés de Poisson