Equació de Fokker-Planck

Archiu:FokkerPlanck.gif

Evolució temporal d'una solució de l'equació de Fokker-Planck.

En mecànica estadística, la equació de Fokker–Planck és una equació diferencial parcial que descriu l'evolució temporal de la funció de densitat de provabilitat de la velocitat d'una partícula baix l'influència de forces d'arrastre i forces aleatòries, com en el moviment browniano. L'equació també pot generalisar-se a un atre tipo de variables. L'equació s'aplica a sistemes que poden ser descrits per un chicotet número de "macrovariables", a on atres paràmetros varien tan ràpidament en el temps que poden ser tractats com "soroll" o una destorbament.

Va ser nomenada en reconeiximent d'Adriaan Fokker i Max Planck, i també és coneguda com a equació alvançada de Kolmogórov (difusió) (per Andréi Kolmogórov, que la va introduir per primera volta en un artícul de 1931). Quan s'aplica a distribucions de posició de partícules, és més coneguda com equació de Smoluchowski. El cas de la difusió zero és conegut en mecànica estadística com equació de Liouville.

La primera derivació consistent de l'equació de Fokker-Planck en l'esquema senzill de la mecànica clàssica i quàntica va ser realisat pels soviètics Nikolay Bogoliubov i Nikolay Krylov.

Història

El primer us de l'equació de Fokker-Planck va ser la descripció estadística del moviment browniano d'una partícula en el sí d'un decorregut. El moviment browniano seguix l'equació de Langevin, que pot resoldre's per a diferents destorbament estocàstiques, per mig de resultats promediados. No obstant, com a alternativa a este procediment, pot usar-se l'equació de Fokker-Planck i considerar una densitat de provabilitat en la velocitat i el temps, $f(𝐯,t)$. Esta distribució de provabilitat depenent del temps pot encara dependre d'un conjunt de N macrovariables $x_i$, de tal manera que el moviment browniano en qüestió pot ser representat per una equació de Fokker-Planck de la forma:

$\frac{\partial f}{\partial t}=-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}[D_i^1(x_1,\dots ,x_N)f]+\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}[D_{ij}^2(x_1,\dots ,x_N)f]$

Símbol	Nom
$D^1$	Terme d'arrastre, que ve dau per un vector
$D^2$	Terme difusivo, que ve dau per una matriu

Relació en les equacions diferencials estocàstiques

Vore també: equació diferencial estocàstica

Archiu:GeoBM.png

Dos solucions estocàstiques de l'equació diferencial estocàstica llineal de Itō, en diferents paràmetros: la llínea blava presenta un arrastre major, mentres que la llínea verda presenta una major varianza.

L'equació de Fokker–Planck pot usar-se per a calcular la densitat de provabilitat associada a una equació diferencial estocàstica. Per eixemple, a l'equació diferencial de Itō:

$\mathrm{d}{𝐗}_t=𝝁({𝐗}_t,t)\mathrm{d}t+𝝈({𝐗}_t,t)\mathrm{d}{𝐖}_t$

Símbol	Nom	Fòrmula
${𝐗}_t$	Estat del sistema	${𝐗}_t\in {ℝ}^N$
${𝐖}_t$	Caracterisa un procés de Wiener estàndar M-dimensional	${𝐖}_t\in {ℝ}^M$

Si la distribució inicial ve donada per ${𝐗}_0\sim f(𝐱,0)$, llavors la densitat de provabilitat $f(𝐱,t)$ de l'estat ${𝐗}_t$ ve donada per l'equació de Fokker–Planck en el terme d'arrastre i el terme de difusió donats per:

$D_i^1(𝐱,t)={\mu }_i(𝐱,t)D_{ij}^2(𝐱,t)=\frac{1}{2}\sum _k{\sigma }_{ik}(𝐱,t){\sigma }_{kj}^{𝖳}(𝐱,t).$

Eixemples

Un procés de Wiener escalar generat per l'equació diferencia estocàstica:

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{W}_t.$

que té un terme d'arrastre nul, un terme i una matriu de difusió donada pel coeficient 1/2, té una densitat de provabilitat donada per la següent equació de Fokker-Planck:

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f(x,t)}{\partial x^2}$

que resulta ser precisament la forma més senzilla possible de la llei de Fick per a la difusió.