Equacions de Lotka-Volterra

Archiu:Milliers fourrures vendues en environ 90 ans odum 1953 en.jpg

Relació entre l'abundància d'un depredador (Lynx canadensis, llínea negra), i la seua presa (Lepus americanus , àrea groga). Gràfic basat en el número de pells venudes pels tramperos a la Hudson's Bay Company entre 1845 i 1935.

Les equacions de Lotka-Volterra, també conegudes com a equacions predador-assut o presa-predador, són un parell d'equacions diferencials de primer orde no llineals que s'usen per a descriure dinàmiques de sistemes biològics en el que dos espècies interactuen, una com a presa i una atra com a depredador. Les equacions varen ser propostes de forma independent per Alfred J. Lotka en 1925 i Vito Volterra en 1926. Tals equacions es definixen com:

$\frac{dx}{dt}=x(\alpha -\beta y)$

$\frac{dy}{dt}=-y(\gamma -\delta x)$

a on:

• i és el número d'algun predador (per eixemple, un llop);
• x és el número dels seus preses (per eixemple, conills);
• dy/dt i dx/dt representa el creiximent de les dos poblacions en el temps;
• t representa el temps; i
• α, β, γ i δ són paràmetros (positius) que representen les interaccions de les dos espècies.

Història

El model depredador-presa de Lotka-Volterra va ser propost inicialment per Alfred J. Lotka en la teoria de les reaccions químiques autocatalíticas en 1910. Esta va anar efectivament l'equació llogística, derivada originalment per Pierre François Verhulst. En 1920, Lotka va estendre el model, a través de Andrey Kolmogorov, a "sistemes orgànics" usant una espècie de planta i una espècie d'animal herbívor com a eixemple i en 1925 va usar les equacions per a analisar les interaccions depredador-presa en el seu llibre sobre biomatemáticas. El mateix conjunt d'equacions va ser publicat en 1926 per Vito Volterra, un matemàtic i físic que s'havia interessat per la biologia matemàtica.[10] L'investigació de Volterra es va inspirar en les seues interaccions en el biòlec marí Umberto D'Ancona, qui estava cortejant a la seua filla en eixe moment i després es convertiria en el seu gendre. D'Ancona va estudiar les captures de peixos en la mar Adriático i va notar que el percentage de peixos depredadors capturats havia aumentat durant els anys de la Primera Guerra Mundial (1914-18). Açò ho va desconcertar, ya que l'esforç de peixca s'havia reduït molt durant els anys de guerra. Volterra va desenrollar el seu model independentment de Lotka i ho va usar per a explicar l'observació de d'Ancona.

Un eixemple simple

Archiu:Lotka-Volterra model (1.1, 0.4, 0.4, 0.1).svg

Es menciona a banda el problema de la dinàmica demogràfica dels babuinos i els guepardos.

Archiu:Predator prey dynamics.svg

Gràfica d'espai de fase per al problema de l'assut del depredador per a vàries condicions inicials de la població de depredadors.

Supongam que hi ha dos espècies d'animals, un babuino (presa) i un guepardo (depredador). Si les condicions inicials són 10 babuinos i 10 guepardos, es pot traçar la progressió de les dos espècies a lo llarc del temps; donats els paràmetros de que les taxes de creiximent i mort dels babuinos són 1,1 i 0,4 mentres que les dels guepardos són 0,1 i 0,4 respectivament. L'elecció de l'interval de temps és arbitrària.

També es poden traçar solucions paramétricamente com a òrbites en l'espai de fase, sense representar el temps, pero en un eix que representa el número d'assuts i l'atre eix que representa el número de depredadors per a tots els temps.

Açò correspon a eliminar el temps de les dos equacions diferencials anteriors per a produir una sola equació diferencial

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\frac{\delta x-\gamma }{\beta y-\alpha }$

relacionar les variables x i i . Les solucions d'esta equació són curves tancades. És susceptible de separació de variables: integrant

$\frac{\beta y-\alpha }{y}dy+\frac{\delta x-\gamma }{x}dx=0$

produïx la relació implícita

$V=\delta x-\gamma \ln (x)+\beta y-\alpha \ln (y),$

a on V és una cantitat constant que depén de les condicions inicials i es conserva en cada curva.

Bibliografia

• Nicolas Bacaër, Rafael Bravo de la Parra, Jordi Ripoll. Breu història dels models matemàtics en dinàmica de poblacions. Paris. ISBN 9791034365883. Pdf