Funció llogística

Funció llogística

Curva llogística, normalisada: $P(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$

La funció llogística, curva llogística o curva en forma de S és una funció matemàtica que apareix en diversos models de creiximent de poblacions, propagació de malalties epidémicas i difusió en rets socials. Dita funció constituïx un refinament del model exponencial per al creiximent d'una magnitut. Modela la funció sigmoideo de creiximent d'un conjunt P.

L'estudi inicial de creiximent és aproximadament exponencial; a la veta d'un temps, apareix la competència entre alguns membres de P per algun recurs crític K ("coll de botella") i la taxa de creiximent disminuïx; finalment, en la madurea, el creiximent es deté.

La funció llogística simple es definix per mig de l'expressió matemàtica:

a on la variable P pot ser considerada o denotada com a població, a on i és la constant de Euler i la variable t pot ser considerada el temps. Per a valors de t en el ranc dels número real des de −∞ a +∞, la curva S es pot obtindre. En la pràctica, donada la naturalea de la funció exponencial, i^−t, és suficient en computar t per a un chicotet ranc d'número real com poden ser [−6, +6].

En la seua forma més general, la funció llogística es definix per la fòrmula matemàtica:

per a paràmetros reals a, m, n, i $\tau$. Estes funcions tenen un camp d'aplicació molt ampli, des de la biologia a l'economia.

Propietats

La funció llogística que modeliza el creiximent llogístic d'una magnitut M(t) té les següents propietats:

• Creiximent acotat, per a tot t es complix que: $0<M(t)<K$
• Aproximació exponencial, per a valors menuts de M/K (o també per a valors de $t\to -\mathrm{\infty }$ la funció llogística pot aproximar-se per un model de creiximent continu del tipo $M(t)\approx M^{\prime }{e}^{rt}$.
• Valores llímit, la funció llogística generalisada donada per l'equació (2) té els següents llímits:

$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }P(t)=a\frac{m}{n},P(0)=a\frac{1+m}{1+n},\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(t)=a$

Eixemple: el desenroll embrionari

En el desenroll d'un embrió, l'òvul fecundado comença a dividir-se i el número de cèlules escomença a créixer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Este és un creiximent exponencial. Pero el feto només pot créixer fins a un tamany que l'úter puga soportar; aixina, atres factors comencen a disminuir l'increment del número de cèlules, i la taxa de creiximent disminuïx. Despuix d'un temps, el chiquet naix i continua creixent. Finalment, el número de cèlules s'estabilisa i l'estatura de l'individu es fa constant. S'ha alcançat la madurea, en la que el creiximent es deté.

Vore també

• Creiximent exponencial
• Funció sigmoide
• Funció llogística generalisada

Bibliografia

• Kingsland, S. E. (1995) Modeling nature ISBN 0-226-43728-0