Creiximent exponencial

Archiu:Exponential.svg

 Creiximent exponencial

 Creiximent llineal

 Creiximent potencial (cúbic)

L'expressió creiximent exponencial també cridat creiximent continu s'aplica a una magnitut tal que la seua variació en el temps és proporcional al seu valor, lo que implica que creix cada volta més ràpit en el temps, d'acort en l'equació:

A on:

$M_t$ és valor de la magnitut en l'instant $t>0$;

$M_0$ és el valor inicial de la variable, valor en $t=0$, quan escomencem a medir-la;

$r$ és la cridada taxa de creiximent instantànea, taxa mija de creiximent durant el lapsus transcorregut entre $t=0$ i $t>0$;

$a$ és qualsevol constant major que 1.

Es pot ilustrar el creiximent exponencial prenent en l'equació $M_0=1$, $a=2$, $r=1$ i $t$ un valor sancer. Per eixemple, si $t=4$, llavors $M_t=2^4=16$. Si $t=10$ llavors $M_t=1024$. I aixina successivament.

Fenomens que creixen de forma exponencial

Alguns fenomens que poden ser descrits per un creiximent exponencial, a lo manco durant un cert interval de temps, són:

1. El número de cèlules d'un embrió mentres es desenrolla en l'úter matern.
2. En una economia sense trastorns, els preus creixen exponencialment, a on la taxa coincidix en l'índex d'inflació.
3. El número de contrasenyes possibles en $n$ dígits creix exponencialment en $n$.
4. El número d'operacions càlculs necessaris per a resoldre un problema NP-complet creix exponencialment en el tamany de l'entrada, representable o codificable per mig d'un número entero.
5. El número de bactèries que es reproduïxen per fissió binaria.
6. El número de membres en poblacions d'ecosistemes quan carixen de depredador i els recursos són illimitats (no existix competència intraespecífica).

Equacions diferencials

El creiximent és exponencial quan el creiximent de la funció en un punt és proporcional al valor de la funció en eixe punt, lo que es pot expressar per mig de l'equació diferencial de primer orde:

(1) $\{\begin{array}{c}\frac{dM}{dt}=rM\\ M(0)=M_0\end{array}$

A on $M_0$ és el valor inicial de la magnitut el creiximent exponencial de la qual s'està estudiant (és dir, el valor de la magnitut per a $t=0$). La solució a esta equació (1) per a qualsevol instant de temps posterior és l'equació de creiximent exponencial:

$M(t)=M_0{e}^{rt}$

Per a $t>0$ pot vore's que $M(t)>M_0$ (sempre i quan el creiximent siga positiu $r>0$).

Catàstrofe malthusiana

La catàstrofe malthusiana deu el seu nom al demógraf i economiste polític conservador Thomas Robert Malthus i la visió pessimista del creiximent de població exposta en la seua obra Ensaig sobre el principi de la població. Les tesis de Malthus encara que desajustadas als fets, varen tindre gran influència política. Malthus va aplegar a afirmar que el creiximent de la població lliure de contenció era un creiximent exponencial, mentres que la producció d'aliments segons el seu argument era un creiximent llineal. ya que la taxa de creiximent de la població era més accelerada que la d'aliments a partir d'un cert llindar de població, Malthus va pronosticar que hi hauria una escassea d'aliments i una gran hambruna cap a mediats de el XIX. La gran hambruna predita per Malthus jamai es va produir mostrant que els presuposts llògics de Malthus eren simplistas i en ocasions fins a erròneus.

Expressat en equacions diferencials l'argument de Malthus era el següent. Si $P(t)$és la població en l'any $t$ i $A(t)$ la cantitat total d'aliments les hipòtesis de creiximent llineal i exponencial són:

La solució de les dos equacions anteriors du a que la cantitat d'aliment per persona ve donada per:

A on $P_0$ és la població inicial i $A_0$ és la cantitat inicial d'aliments. Supongam ara que la cantitat mínima d'aliments o ingesta mínima per persona és $a_{min}$, llavors si les hipòtesis de Malthus hagueren segut correctes per a tot instant del temps, la cantitat d'aliments per persona s'hauria reduït fins a ser inferior a la cantitat mínima d'aliments per persona en l'instant de la catàstrofe malthusiana $t_{CM}$:

Pot vore's que per a qualssevol valors positius de $r,k,A0,P0$ i $a_{min}$ existix un instant del temps donat per $t_{CM}$ en el que es produïx indefectiblemente la catàstrofe malthusiana, si les equacions d'evolució (2a, 2b) no canvien en tot el procés. La solució de (*) ve donada per mig de la funció W de Lambert:

Curva llogística

Artícul principal → Curva llogística.

La curva llogística és un refinament del creiximent exponencial. Quan una magnitut creix en un sistema finito, a partir de cert punt el tamany finito del sistema llimita el creiximent de la magnitut al no existir recursos abundants suficients per a seguir permetent el creiximent exponencial. Un cas típic són els ecosistemes biològics a on certes espècies basen la seua supervivència en altes taxes de reproducció o natalitat(estratègia $r$). Inicialment quan existix un chicotet número d'individus el creiximent és exponencial, pero a partir de cert moment el fet de que els recursos alimentaris del territori no siguen infinits "satura" el creiximent. En eixos casos el creiximent de la població $P$ en el temps $(t)$ respon a la següent equació diferencial:

A on la constant $r$ definix la taxa de creiximent i $K$ és la capacitat, que està associada a la saturació del sistema. Quan $P$ és menuda, esta equació s'assembla a l'equació (1) del creiximent exponencial, pero per a valors no despreciables front al valor de $K$el comportament canvia. La solució general a l'equació (3) és la funció llogística, usualment cridada curva llogística. La solució general de l'equació, sent $P_0$ la població inicial, ve donada per:

$P(t)=\frac{K{P}_0{e}^{rt}}{K+P_0(e^{rt}-1)}$

A on: $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(t)=K.$

Estratègies K i r

La teoria de la selecció r/K hipotetiza que les forces evolutives operen en dos direccions diferents: r o K en relació en la provabilitat de supervivència d'individus de diferents espècies de plantes i animals. Estos térmens algébricos es deriven de l'equació diferencial de Verhulst de la dinàmica de poblacions biològiques.

en a on:

$r$ és la taxa de reproducció de la població

$N$és el tamany de la població

$K$ és la capacitat de càrrega de l'ambient

D'acort en la teoria de selecció r/K:

• Algunes espècies seguixen una estratègia r produïxen numerosos descendents, cada u dels quals posseïx una provabilitat de supervivència baixa, i l'espècie és poc dependent del futur d'un chicotet número d'individus.
• Atres espècies en estratègia K invertixen gran cantitat de recursos en uns pocs descendents, cada u dels quals té una alta provabilitat de supervivència, eixa estratègia pot resultar exitosa pero fa a l'espècie vulnerable respecte a la sòrt d'un chicotet número d'individus.

Les plantes anuals o perennes, en abundants llavors, menudes, sense composts secundaris ni atres defenses contra la depredación són típiques d'estratègia r : pins, roures, ceibas, pastures i yerbas en general; mentres que arbres en poques llavors, grans, riques en nutrients, carregades d'alcaloide o en defenses mecàniques (espines, corfes dures, etc.), són típiques d'estratègia K: palma de coco, albocat, zapote. En forma anàloga, els invertebrats terrestres i aquàtics, moltes espècies de peixos, produïxen innumerables propágulos que es dispersen pasivament, sofrixen altes taxes de depredación -estratègia r, vs. aus i mamífers que invertixen temps i energia en el conte dels seus fills, durant periodos prolongats, són el epítome dels estrategues K. Estos eixemples subrallen el fet de que r i K són extrems d'un espectre d'adaptacions; de facto la majoria de les espècies tant de plantes com d'animals manifesten estrategues intermiges.

Referències

Bibliografia

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.
• MacArthur, Robert H. (1972): Geographical Ecology: Patterns in the distribution of species. Harper and Row. New York, NY. 269 pp ISBN 0-691-08353-3. [Reeditat en rústica en 1984 per Princeton University Press ISBN 0691023823].

Vore també

• Model exponencial
• Funció exponencial