El método de les teoremes mecàniques

Archiu:Archie1small.png

El método de les teoremes mecàniques

La Teorema de la palanca (en grec: Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), a voltes referit simplement com El Método, és una de les majors obres d'Arquimedes de Siracusa que ha conseguit sobreviure fins als nostres dies. El Método en el seu format original va ser una carta elaborada per Arquímedes para Eratóstenes, el qual començava descrivint inicialment dos problemes especials, per a després començar a descriure el seu método. El llibre que contenia el método va ser provablement copiat i almagasenat en Biblioteca d'Aleixandria. Esta obra conté el primer us documentat dels indivisibles (també denominats "infinitesimals"). El treball originalment es va pensar perdut fins que en 1906 va ser redescubierto en el célebre Palimpsesto de Arquímedes. El palimpsesto inclou entre vàries obres el Método mecànic, cridat aixina perque en ell es troba la llei de la palanca (que va ser demostrada per primera volta per Arquímedes), i d'alguns casos especials de centres de gravetat.

Arquímedes no va admetre el método mecànic com a part de les matemàtiques rigoroses, i per lo tant no va publicar el seu método en els tractats formals. En estos tractats, demostra els resultats aplicant solament el método d'agotament, el qual es basa en la busca rigorosa dels llímits superior i inferior, que convergixen a la resposta requerida. No obstant, el método mecànic era lo que ell utilisava primer per a descobrir les relacions de les que més vesprada va donar proves rigoroses.

L'enfocament del Método Mecànic

El "método mecànic" de Arquímedes es basa en l'idea de que una volta feta la construcció geomètrica, i trobades les relacions de la figura per mig de la teoria de proporcions, es pot aplegar donar una interpretació física a dites relacions. Esta interpretació física que utilisa Arquímedes és la cridada llei de la palanca. En la carta a Eratóstenes, Arquímedes mostra el método que possiblement va usar per a obtindre moltes de les seues conclusions en problemes sobre àrees i volums. Donant-se conte de que és més fàcil, despuix d'haver adquirit per este método cert coneiximent de l'objecte d'investigació abans portar a terme la demostració geomètrica deductiva més rigorosa, Arquímedes va amprar per a este propòsit, junt en la seua llei de la palanca, l'idea de que una superfície està conformada per infinites llínees; i análogamente per a figures en tres dimensions, la de que un volum està constituït per infinits plans.

Àrea d'una paràbola

Actualment, per a explicar el método de Arquímedes, és convenient fer us de la geometria cartesiana (que en aquella época no existia). L'idea de Arquímedes era la d'usar la llei de la palanca per a determinar l'àrea de figures coneixent el centre de masses d'unes atres. L'eixemple més simple en el llenguage modern és l'àrea de la paràbola. Arquímedes va utilisar un método més elegant, pero en llenguage cartesiano, el seu método es va basar en calcular l'integral:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx,$

que ―per càlcul integral elemental― és 1/3.

Per a trobar eixa integral, es deu equilibrar un triàngul en la paràbola. El triàngul és la regió en el pla x-i que genera la funció i = x, quan varia des de 0 a 1. La paràbola és la regió en el pla x-i que genera la funció i = x², quan varia des de 0 a 1.