Curva de Peano

Archiu:Peano curve.png

Curva de Peano.

Una curva de Peano, nom en honor al matemàtic italià Giuseppe Peano, és un tipo de curva contínua que "recobrix" tot el pla (específicament, la curva és un conjunt dens del pla). Este tipo de curves s'obtenen per mig d'una successió de curves contínues sense interseccions que convergixen a una curva llímit. La curva llímit, o curva de Peano, és de fet un objecte pròpiament fractal interessant ya que, encara que el seu dimensió topològica és 1, la seua dimensió fractal d'Hausdorff-Besicovitch és 2.

Propietats

Existixen vàries formes de construir curves de Peano, ademés de la construcció inicialment presentada per Peano, encara que totes elles presenten propietats comunes. Tècnicament una curva de Peano és el llímit d'una successió de curves en les següents propietats:

• Cada una de les curves és contínua i la successió convergix uniformemente.
• Cada funció és inyectiva, i és homeomorfa a un interval.

Eixes dos propietats impliquen que la curva llímit satisfarà les següents condicions:

• Serà una curva contínua.
• La curva de Peano és equipotente a la regió [0; 1]x[0; 1]; no obstant la dimensió topològica de la curva peaniana és 1 i la del quadrat és 2.

La construcció pot generalisar-se a qualsevol dimensió n i poden construir-se curves (en dimensió topològica 1) pero la dimensió de la qual de Hausdorff-Besicovitch iguala la de l'espai. Açò últim implica que la clausura topològica en l'espai euclídeo de dita curva té un volum n-dimensional diferent de zero.

Generació

És l'aplicació contínua del interval unitat 0 ≤ t ≤ 1 sobre el quadrat unitat Q : 0 ≤ $x_1$ ≤ 1, 0 ≤ $x_2$ ≤ 1 de $R^2$

• Els punts en l'interval unitat es consideren en el sistema de base 4.