Càlcul fraccional

En matemàtiques, el càlcul fraccional és una branca del anàlisis matemàtic que estudia la possibilitat de prendre potències reals o complexes del operador diferencial D

$Df(x)=\frac{d}{dx}f(x),$

i l'operador integral J

$Jf(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt,$

En este context potencies es referixen a l'aplicació iterativa, en el mateix sentit que f²(x) = f(f(x)).
Per eixemple, un podria presentar la pregunta d'interpretar en algun sentit

$\sqrt{D}=D^{1/2}=\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}},$

com una raïl quadrada del operador diferencial (un operador mig iterado), és dir, una expressió per a algun operador que en ser aplicada dos voltes a una funció tindrà el mateix efecte que la diferenciació. Més generalment, un pot mirar la qüestió de definir

$D^s$

per a valors reals de s de manera tal que quan s pren com a valor un número natural n, la potència usual de la n-diferenciació es recupera per a n > 0, i la −n potencia de J quan n < 0.

Hi ha vàries raons per a considerar esta pregunta. Una d'elles és que d'esta forma el semigrupo de potències Dⁿ en la variable discreta n són vistes dins d'un semigrupo continu (això s'espera) de paràmetro s, el qual és un número real. Els semigrupos continus prevalen en matemàtiques, i tenen una teoria interessant. Note's ací que fracció és llavors una mala denominació per a l'exponent, ya que no necessita ser un número racional, pero el terme càlcul fraccional s'ha tornat tradicional.

Derivada fraccional

Respecte de l'existència de tal teoria, els fonaments d'esta matèria varen ser assentats per Liouville en una obra de 1832. La derivada fraccional d'una funció a l'orde a és ara freqüentment definida per mig de les transformades integrals de Fourier o la Mellin. Un punt important és que la derivada fraccional en un punt x és una propietat local solament quan a és un natural; en casos no integrals no podem dir que la derivada fraccional en x d'una funció f depén solament del gràfic de f molt prop de x, de la forma en que les derivades que són potències d'integrals certament ho fan. Llavors, s'espera que la teoria incloga algun tipo de condicions de frontera, incloent informació sobre la funció més llunt. Per a usar una metàfora, la derivada fraccional requerix una miqueta de visió perifèrica.

Un detall important a recalcar respecte a les derivades fraccionales és que l'operador diferencial que s'utilisa, tanca tant a la derivació com l'integració, de modo que alguns desenrolls en série de Taylor, com per eixemple, el de la funció exponencial, en aplicar-los l'operador diferencial fraccional, conduïx a resultats erròneus. Açò es deu a que de la mateixa manera que l'integració habitual, la derivació fraccional admet llímits de derivació.

Heurística

Una pregunta prou natural seria, ¿existix un operador $H$, o mija derivada, tal que

$H^{2}f(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$?

Resulta que sí existix tal operador, i certament per a qualsevol $a>0$, existix un operador $P$ tal que

$(P^{a}f)(x)=f^{\prime }(x)$

o per a expressar-ho d'una atra manera, $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$ està ben definida para tots els valors reals de n > 0. Un resultat similar s'aplica a l'integració.

Per a profundisar en cert detall, comence's en la Funció gamma $\Gamma$, la qual es definix tal que

$n!=\Gamma (n+1)$.

Assumint una funció $f(x)$ que està ben definida quan $x>0$, podem formar l'integral definida des de 0 fins a x. Llamémos a açò

$(Jf)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

Repetint este procés es té

$(J^{2}f)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(Jf)(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds)dt$,

i açò pot ser estés arbitrariament.

La fòrmula de Cauchy per a integració repetida, és dir

$(J^{n}f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt,$

conduïx a una manera senzilla per a la generalisació a tot n.

Usant simplement la funció Gamma per a eliminar la naturalea discreta de la funció factorial s'obté un candidat natural per a aplicacions fraccionales de l'operador integral.

$(J^{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$

Est és de fet un operador ben definit.

Pot ser demostrat que l'operador J és conmutativo i aditiu. Açò és,

$(J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f=\frac{1}{\Gamma (\alpha +\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha +\beta -1}f(t)dt$

Esta propietat es denomina la propietat de semigrupo dels operadors diferintegrales fraccionales. Llamentablement el procés comparable per a l'operador derivada D és considerablement més complex, pero pot ser demostrat que D no és ni conmutativo, ni aditiu en general.

Vore també

• Equació diferencial fraccionaria
• Equació íntegre-diferencial

Referències

• Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Ámsterdam, Netherlands, Elsevier, Febrary 2006. ISBN 0-444-51832-0 (https://web.archive.org/web/20090816133048/http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
• An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, per Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Tapa dura: 384 pp. Editorial: John Wiley & Sons; 1.ª edició (19 de maig de 1993). ISBN 0-471-58884-9.
• The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), per Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Tapa dura. Editorial: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
• Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), per Igor Podlubny. Tapa dura. Editorial: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
• Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Mija. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
• Fractional Derivatives for Physicists and Engineers by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
• Fractional Calculus - An Introduction for Physicists by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.
• Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
• Physics of Fractal Operators, per Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Tapa dura: 368 pages. Editorial: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2

• Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Séries, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
• Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261-285,1998. doi:10.1007/s002200050299 (available ^{[enllaç trencat]} or as the arXiv preprint)
• Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

• Fractional Differentiation Inequalities by Anastassiou, George A. (http://www.springer.com/mathematics/dynamical+systems/book/978-0-387-98127-7)