Equació íntegre-diferencial

En matemàtiques, una equació íntegre-diferencial és una equació que involucra integrals i derivades d'una funció.

Forma general

Una equació íntegre-diferencial de primer orde es pot escriure en la forma

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}(x)+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,u(t))\mathrm{d}t=g(x,u(x)).$

La resolució exacta de tal equació a sovint és difícil i a sovint passa per l'us de transformacions (Transformada de Laplace, Transformada de Fourier, ...)

Aplicacions

Les equacions íntegre-diferencials modelen moltes situacions de la ciència i l'ingenieria, com en l'anàlisis de circuits. Segons la segona llei de Kirchhoff, la caiguda de tensió neta en un circuit tancat és igual a la tensió suministrada $E(t)$. (És essencialment una aplicació de la llei de conservació de l'energia). Per lo tant, un circuit RLC obedix

$L\frac{d}{dt}I(t)+RI(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}I(\tau )d\tau =E(t),$

a on $I(t)$ és la corrent en funció del temps, $R$ és la resistència, $L$ l'inductància, i $C$ la capacitancia.

L'activitat de les neurones inhibidores i excitadoras que interactuen pot descriure's per mig d'un sistema d'equacions íntegre-diferencials, vore, per eixemple, el model de Wilson-Cowan.

En astrofísica, l'equació de Schwarzschild-Milne, que descriu la dispersió de la llum en atmòsfera estelars, és íntegre-diferencial.

En economia, la representació de Lévy-Khintchine d'un procés de Lévy es basa en una equació íntegre-diferencial.