Procés de Lévy

Un procés de Lévy és un procés estocàstic estacionario de temps continu $\{X_t{\}}_{t\ge 0}$ en el que els increments en el valor del procés no depenen dels seus valors passats. Este tipo de processos varen ser analisats per Paul Lévy en els anys 1930 generalisant els treballs de Norbert Wiener.

Intuitivament, un procés de Lévy representa el moviment d'un punt els desplaçaments successius del qual són aleatoris i independents, i estadísticament tenen la mateixa distribució sobre diferents intervals de temps de la mateixa llongitut. En eixes condicions un procés de Lévy pot vore's com un anàlec en temps continu del passejada aleatòria.

Els processos de Wiener (usats per a modelizar el moviment browniano) i els processos de Poisson són casos particulars de processos de Lévy, tenint el primer trayectòries contínues casi segur, mentres que el segon té una cantitat numerable de bots.

Definició formal

Un procés adaptat $X=\{X_t{\}}_{t\ge 0}$ en $X_0=0$ casi segur és un procés de Lévy si:

(i) $X$ té increments independents del passat, és dir, $X_t-X_s$ és independent de la filtració ${ℱ}_s,0\le s<t<\mathrm{\infty }$;

(ii) $X$ té increments estacionarios, és dir, $X_t-X_s$ té la mateixa distribució que $X_{t-s},0\le s<t<\mathrm{\infty }$

(iii) $X_t$ és continu en provabilitat, és dir, $\underset{t\to s}{\lim }{X}_t=X_s$, a on el llímit es pren en provabilitat.

Eixemples

• El moviment browniano que pot ser adequadament modelizado per un procés de Wiener que és un tipo particular de procés de Lévy.
• L'ocurrència de terremots de magnitut fixada en una regió concreta es pot modelizar adequadament per mig d'una procés de Poisson. En particular el número de terremots en un interval de temps $[0,t]$ ve dau per un procés de Poisson, que també és un tipo de procés de Lévy.

Vore també

• Variables aleatòries indénticamente distribuïdes i independents
• Procés de Wiener
• Procés de Poisson
• Procés de Markov
• Vol de Lévy

Referències

Bibliografia

• Philip Protter (1995): Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach, ISBN 3-540-50996-8.
• «Lévy Processes—From Probability to Finance and Quàntum Groups».Notices of the American Mathematical Society.American Mathematical Society.Providence, RI:51(11)

1336–1347.ISSN 1088-9477.

• (2003) Financial Modeling with Jump Processes, CRC Press..
• (2011) Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press..