Inductància

En electromagnetisme i electrònica, la inductància ( $L$ ), és la mida de l'oposició a un canvi de corrent d'un inductor o bobina que almagasena energia en presència d'un camp magnètic, i es definix com la relació entre el fluix magnètic ( $𝜱$ ) i l'intensitat de corrent elèctrica ( $I$ ) que circula per la bobina i el número de regressos (N) del devanado:

L = \frac{Φ N}{I}

L'inductància depén de les característiques físiques del conductor i de la llongitut del mateix. Si es enrolla un conductor, l'inductància apareix. En moltes espiras es tindrà més inductància que en poques. Si a açò afegim un núcleu de ferrita, aumentarem considerablement l'inductància.

El fluix que apareix en esta definició és el fluix produït per la corrent $I$ exclusivament. No deuen incloure's fluix produïts per atres corrents ni per imans situats prop ni per ones electromagnètiques.

Esta definició és de poca utilitat perque és difícil medir el fluix abraçat per un conductor. En canvi es poden medir les variacions del fluix i això solament a través de la Tensió Elèctrica $V$ induïda en el conductor per la variació del fluix. En això apleguem a una definició d'inductància equivalent pero feta a pur de cantitats que es poden medir, açò és, la corrent, el temps i la tensió:

V_{L} = L \frac{Δ I}{Δ t}

El signe de la tensió i de la corrent són els següents: si la corrent que entra per l'extremitat A de el conductor, i que va cap a l'atra extremitat, aumenta, l'extremitat A és positiva sobre l'oposta. Esta frase també pot escriure's al revés: si l'extremitat A és positiva, la corrent que entra per a aumenta en el temps.

En el SI, l'unitat de l'inductància és el «henrio» (H),^[1] cridada aixina en honor al científic nortamericà Joseph Henry. 1 H = 1 Wb/A, a on el fluix s'expressa en weber i l'intensitat en amperis.

El vocablo «inductància» va ser amprat per primera volta per Oliver Heaviside en febrer de 1886,^[2] mentres que el símbol $L$ s'utilisa en honor al físic Heinrich Lenz.^[3]^[4]

L'inductància sempre és positiva, llevat en certs circuits electrònics especialment concebuts per a simular inductància negatives, i els valors d'inductància pràctics, van d'uns dècims de nH per a un conductor d'1 milímetro de llarc, fins a vàries decenes de mils de henrios per a bobines fetes de mils de regressos al voltant de núcleus ferromagnéticos.

Història

Artícul principal → Història de la teoria electromagnètica.

L'història de l'inducció electromagnètica, una faceta de l'electromagnetisme, va començar en les observacions dels antics: càrrega elèctrica o electricitat estàtica (fregar seda sobre àmbar), corrent elèctrica (llampada) i atracció magnètica (pedra iman). La comprensió de l'unitat d'estes forces de la naturalea i la teoria científica de l'electromagnetisme varen començar a fins de el XVIII.

L'inducció electromagnètica va ser descrita per primera volta per Michael Faraday en 1831.^[5]^[6] En l'experiment de Faraday, va envoldre dos cables al voltant dels costats oposts d'un anell de ferro. Ell esperava que, quan la corrent començara a fluir en un cable, una espècie d'ona viajaria a través de l'anell i causaria algun efecte elèctric en el costat opost. Usant un galvanómetro, va observar un fluix de corrent transitori en la segona bobina d'aram cada volta que es conectava o desconectava una bateria de la primera bobina.^[7] Esta corrent va ser induïda pel canvi en el fluix magnètic que va ocórrer quan la bateria va ser conectada i desconectada.^[8] Faraday va trobar vàries atres manifestacions de l'inducció electromagnètica. Per eixemple, va vore corrents transitòries quan va esgolar ràpidament una barra magnètica dins i fòra d'una bobina de cables, i va generar una corrent constant (CC) en girar un disc de coure prop de la barra magnètica en una cable elèctric deslizante ("disc de Faraday").^[9]

Formalisme general

Inductància mútua

Com es vorà a continuació, l'inductància (mútua i autoinductancia) és una característica dels circuits, dependent de la seua geometria. Sean dos circuits arbitraris descrits per les curves $γ_{1}$ i $γ_{2}$ per a on circulen corrents $I_{1}$ i $I_{2}$ , respectivament. D'ara en més el subíndex 1 representa magnituts corresponents al circuit 1 i análogamente per al circuit 2. En virtut de la llei de Faraday es té

\vec{\nabla} \times \vec{E} ({\vec{x}}_{1}) = - \frac{\partial \vec{B} ({\vec{x}}_{1})}{\partial t}

a on $\vec{E} ({\vec{x}}_{1})$ és el camp elèctric i $\vec{B} ({\vec{x}}_{1})$ és el camp magnètic en el circuit 1. Si ara es pren el fluix a través de l'àrea tancada $S_{1}$ pel circuit 1,

\int_{S_{1}} \vec{\nabla} \times \vec{E} ({\vec{x}}_{1}) \cdot \vec{d a_{1}} = - \int_{S_{1}} \frac{\partial \vec{B} ({\vec{x}}_{1})}{\partial t} \cdot \vec{d a_{1}}

i s'usa el teorema de Stokes en l'integral del costat esquerre, s'obté la fem $ϵ_{1}$ per al circuit 1:

\oint_{γ_{1}} \vec{E} ({\vec{x}}_{1}) \cdot \vec{d s_{1}} = ϵ_{1} = - \int_{S_{1}} \frac{\partial \vec{B} ({\vec{x}}_{1})}{\partial t} \cdot \vec{d a_{1}}

És convenient usar el fet de que $\vec{B} ({\vec{x}}_{1}) = \vec{\nabla} \times \vec{A} ({\vec{x}}_{1})$ , a on $\vec{A} (\vec{x})$ és el potencial vectorial, per a reescriure lo anterior com

ϵ_{1} = - \int \vec{\nabla} \times \frac{\partial \vec{A} ({\vec{x}}_{1})}{\partial t} \cdot \vec{d a_{1}}

En este punt es deu fer una simplificació: se supondrà que el circuit no canvia en el temps, en la qual cosa la derivada parcial pot eixir fòra de l'integral. Açò permet llavors aplicar novament la teorema de Stokes. Matemàticament:

ϵ_{1} = - \frac{\partial}{\partial t} \int_{S_{1}} \vec{\nabla} \times \vec{A} ({\vec{x}}_{1}) \cdot \vec{d a_{1}}

ϵ_{1} = - \frac{\partial}{\partial t} \oint_{γ_{1}} \vec{A} ({\vec{x}}_{1}) \cdot \vec{d s_{1}}

Ya que $\vec{A} (\vec{x}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{V} \frac{\vec{J} ({\vec{x}}^{'})}{| \vec{x} - {\vec{x}}^{'} |} d^{3} x^{'}$ en el gauge $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0$ a on $\vec{J} (\vec{x})$ és la densitat de corrent que genera el camp magnètic $\vec{B}$ . En este cas la densitat de corrent correspon a la del circuit 2, per lo que $\vec{A} ({\vec{x}}_{1}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{V} \frac{\vec{J} ({\vec{x}}_{2})}{| {\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2} |} d^{3} x_{2}$ . En cas que la densitat de corrent corresponga a una curva i no a un volum en l'espai és lícit reescriure el potencial vectorial com $\vec{A} ({\vec{x}}_{1}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \oint_{γ_{2}} \frac{I_{2}}{| {\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2} |} \vec{d s_{2}}$ . Després, reemplaçant esta última igualtat en l'expressió anterior s'obté:

ϵ_{1} = - \frac{\partial}{\partial t} \oint_{γ_{1}} \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \oint_{γ_{2}} \frac{I_{2}}{| {\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2} |} \vec{d s_{2}} \cdot \vec{d s_{1}}

Ya que s'ha supost que els circuits no es modifiquen en el temps sol $I_{2}$ es veu afectada per la derivada temporal, en lo que

ϵ_{1} = - \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \oint_{γ_{1}} \oint_{γ_{2}} \frac{\vec{d s_{2}} \cdot \vec{d s_{1}}}{| {\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2} |} \frac{\partial I_{2}}{\partial t}

L'anterior raonament es pot repetir per al circuit 2 donant com a resultat

ϵ_{2} = - \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \oint_{γ_{2}} \oint_{γ_{1}} \frac{\vec{d s_{1}} \cdot \vec{d s_{2}}}{| {\vec{x}}_{2} - {\vec{x}}_{1} |} \frac{\partial I_{1}}{\partial t}

Clarament les constants que acompanyen a les derivades temporals en abdós casos són coeficients que solament depenen de la geometria dels circuits i ademés són iguals. Després es diu inductància mútua, $M$ a dita constant

M = - \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \oint_{γ_{1}} \oint_{γ_{2}} \frac{\vec{d s_{2}} \cdot \vec{d s_{1}}}{| {\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2} |}

Autoinductancia

Per a calcular la autoinductancia es pot procedir en el raonament anterior. A pesar d'açò sorgix un problema: la doble integral no es fa sobre circuits distints sino sobre el mateix donant lloc a divergència quan ${\vec{x}}_{2} = {\vec{x}}_{1}$ . Dit problema pot ser resolt si en l'integral s'usa l'expressió general per a $\vec{A} (\vec{x}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{V} \frac{\vec{J} ({\vec{x}}^{'})}{| \vec{x} - {\vec{x}}^{'} |} d^{3} x^{'}$ per a punts molt propencs entre sí. Esta proximitat entre punts permet fer aproximació en les quals es pot resoldre l'integral.^[10]

No obstant existixen casos a on la autoinductancia es calcula trivialment com per eixemple el solenoide ideal: si $ϕ_{M}$ és el fluix magnètic, per Llei de Faraday es té

ϵ_{1} = - \frac{d ϕ_{M}}{d t}

Ya que el camp magnètic en el solenoide és constant, és possible calcular-ho com $| \vec{B} | = \frac{μ_{0} N I}{l}$ , en $N$ el número de regressos, $l$ el llarc del solenoide i $I$ la corrent que passa el mateix, es té

ϵ_{1} = - N A \frac{d B}{d t} = - \frac{μ_{0} N^{2} A}{l} \frac{d I}{d t}

a on $L = \frac{μ_{0} N^{2} A}{l}$ és la autoinductancia. El valor de l'inductància ve determinat exclusivament per les característiques geomètriques de la bobina i per la permeabilidad magnètica de l'espai a on es troba. Si el solenoide té un núcleu de permeabilidad distinta de buit, l'inductància (en Henrios), d'acort en les equacions de Maxwell, ve determinada per:

L = \frac{μ N^{2} A}{l}

a on $μ$ és la permeabilidad absoluta del núcleu (el producte entre la permeabilidad de l'aire i la permeabilidad relativa del material) $N$ és el número de espiras, $A$ és l'àrea de la secció travessera del bobinado (en metros quadrats) i $l$ la llongitut de les bobina (en metros).

El càlcul de $l$ és prou complicat a no ser que la bobina siga toroidal i aixina i tot, resulta difícil si el núcleu presenta distintes permeabilidades en funció de l'intensitat que circule per la mateixa. En este cas, la determinació de $l$ es realisa a partir de les curves de imanación.

Referències

↑ Plantilla:DLE
↑ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. Vore reimpressió
↑ Glenn Elert. «The Physics Hypertextbook: Inductance».
↑ Michael W. Davidson. «Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance».
↑ Ulaby, Fawwaz (2007). Fundamentals of applied electromagnetics, 5th edició, Pearson / Prentice Hall, p. 255. ISBN 978-0-13-241326-8.
↑ «Joseph Henry». Distinguished Members Gallery, National Academy of Sciences.
↑ (1971) Michael Faraday: A Biography, pp. 182–183. ISBN 9780671209292.
↑ Giancoli, Douglas C. (1998). Physics: Principles with Applications, Fifth edició, pp. 623–624.
↑ (1971) Michael Faraday: A Biography, pp. 191–195. ISBN 9780671209292.
↑ (2016).Advanced Electromagnetics.5(1)
1-8.doi:10.7716/aem.v5i1.331.

Este artícul conté una traducció derivada de «Inductancia» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Plantilla:DLE

[2] Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. Vore reimpressió

[3] Glenn Elert. «The Physics Hypertextbook: Inductance».

[4] Michael W. Davidson. «Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance».

[5] Ulaby, Fawwaz (2007). Fundamentals of applied electromagnetics, 5th edició, Pearson / Prentice Hall, p. 255. ISBN 978-0-13-241326-8.

[6] «Joseph Henry». Distinguished Members Gallery, National Academy of Sciences.

[7] (1971) Michael Faraday: A Biography, pp. 182–183. ISBN 9780671209292.

[Giancoli-8] Giancoli, Douglas C. (1998). Physics: Principles with Applications, Fifth edició, pp. 623–624.

[9] (1971) Michael Faraday: A Biography, pp. 191–195. ISBN 9780671209292.

[donen12-10] (2016).Advanced Electromagnetics.5(1)
1-8.doi:10.7716/aem.v5i1.331.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]