Lleis de Kirchhoff

Circuit de malla múltiple. Les lleis de Kirchhoff permeten determinar la corrent elèctrica que circula per cada una de les parts del circuit

Les lleis de Kirchhoff per a circuits elèctrics, són dos lleis fonamentals aplicables als circuits elèctrics multimalla i que descriuen el fluix de corrent i les caigudes de potencial que tenen lloc en cada part del circuit. Bàsicament consistixen en dos igualtats que es basen en la conservació de l'energia i la càrrega en els circuits elèctrics. Varen ser descrites per primera volta en 1846 per Gustav Kirchhoff. Són àmpliament usades en ingenieria elèctrica i ingenieria electrònica. Els enunciats d'abdós lleis podrien escriure's de la següent manera:

1. La suma algebraica de les corrents que circulen cap a un nodo del circuit, és zero.
2. La suma algebraica de la força electromotriz d'una malla determinada del circuit, és igual a la suma algebraica dels productes intensitat/potencial (IR) d'eixa malla.

Abdós lleis de circuits poden derivar-se directament de les equacions de Maxwell, pero Kirchhoff va precedir a Maxwell i gràcies a Georg Ohm el seu treball va ser generalisat. Estes lleis són utilisades per a trobar corrents i tensions en qualsevol punt d'un circuit elèctric.

Llei de corrents o intensitat de Kirchhoff

Vore també: Anàlisis de nodos

Erro al crear miniatura:

La corrent que entra a un nodo és igual a la corrent que ix del mateix. i₁ + i₄ = i₂ + i₃

Esta llei també és cridada llei de nodos o primera llei de Kirchhoff i és comú que s'use la sigla LCK (KCL en anglés) per a referir-se a esta llei. La llei de corrents de Kirchhoff nos diu que:

Esta fòrmula és vàlida també per a circuits complexos:

$\sum _{k=1}^n{\tilde{I}}_k=0$

La llei es basa en el principi de la conservació de la càrrega a on la càrrega en coulombios és el producte de la corrent en amperis i el temps en segons.

Per definició, un nodo és un punt d'una ret elèctrica en el qual convergixen tres o més conductors.

Esta primera llei confirma el principi de la conservació de les càrregues elèctriques.

Densitat de càrrega variant

La LCK solament és vàlida si la densitat de càrrega es manté constant en el punt en el que s'aplica. Considere la corrent entrant en una làmina d'un condensador. Si un s'imagina una superfície tancada al voltant d'eixa làmina, la corrent entra a través del dispositiu, pero no ix, violant la LCK. Ademés, la corrent a través d'una superfície tancada al voltant de tot el capacitor complirà la LCK entrante per una làmina siga balancejada per la corrent que ix de l'atra làmina, que és lo que es fa en anàlisis de circuits, encara que cal resaltar que hi ha un problema en considerar una sola làmina.

Maxwell va introduir el concepte de corrent de desplaçament per a descriure estes situacions. La corrent que fluïx en la làmina d'un capacitor és igual a l'aument de l'acumulació de la càrrega i ademés és igual a la taxa de canvi del fluix elèctric per la càrrega (el fluix elèctric també es medix en Coulombs, com una càrrega elèctrica en el SIU). Esta taxa de canvi del fluix $\psi$, és lo que Maxwell va cridar corrent de desplaçament $I_{\mathrm{D}}$:

$I_{\mathrm{D}}=\frac{d\psi }{dt}$

Quan la corrent de desplaçament s'inclou, la llei de Kirchhoff es complix de nou. Les corrents de desplaçament no són corrents reals degut a que no consten de càrregues en moviment, deurien vore's més com un factor de correcció per a fer que la LCK es complixca. En el cas de la làmina del capacitor, la corrent entrante de la làmina és cancelada per una corrent de desplaçament que ix de la làmina i entra per l'atra làmina.

Açò també pot expressar-se en térmens del vector camp en prendre la Llei de Ampere de la divergència en la correcció de Maxwell i combinant la llei de Gauss, obtenint:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=-\mathrm{\nabla }\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Açò és simplement l'equació de la conservació de la càrrega en forma integral, diu que la corrent que fluïx a través d'una superfície tancada és igual a la taxa de pèrdua de càrrega del volum tancat (Teorema de Divergència). La llei de Kirchhoff és equivalent a dir que la divergència de la corrent és zero, per a un temps invariante p, o sempre veritat si la corrent de desplaçament està inclosa en J.

Usos

Una versió matricial de la llei de corrents de Kirchhoff és la base de la majoria del software de simulació de circuits, com SPICE. La llei de corrents s'utilisa en la llei de Ohm per a realisar anàlisis de nodos.

La llei de corrents és aplicable a qualsevol ret concentrada, independentment de la naturalea de la ret: unilateral o bilateral, activa o passiva, llineal o no llineal.

Llei de tensions de Kirchhoff

Vore també: Anàlisis de malla

Llei de tensions de Kirchhoff, en est case v₁+v₂+v₃+v₄ = 0. No es té en conte a v₅ perque no forma part de la malla que estem analisant.

Esta llei és anomenada també segona llei de Kirchhoff, li la coneix com la llei de les tensions (KVL en anglés).

D'igual manera que en la corrent, les tensions també poden ser complexos, aixina:

$\sum _{k=1}^n{\tilde{V}}_k=0$

Esta llei es basa en la conservació d'un camp potencial d'energia. Donat una diferència de potencial, una càrrega que ha completat un llaç tancat no guanya o pert energia en retornar al potencial inicial.

Esta llei és certa inclús quan hi ha resistència en el circuit. La validea d'esta llei pot explicar-se en considerar que una càrrega no retorna al seu punt de partida, pel malbarat d'energia. Una càrrega simplement terminarà en el terminal negatiu, en lloc del positiu. Açò significa que tota l'energia donada per la diferència de potencial ha segut completament consumida per la resistència, la qual la transformarà en calor. Teòricament, i, ya que les tensions tenen un signe, açò es traduïx en un signe positiu en recórrer un circuit des d'un major potencial a un atre menor, i al revés: en un signe negatiu en recórrer un circuit des d'un menor potencial a un atre major.

En resum, la llei de tensió de Kirchhoff no té res a vore en el guany o pèrdua d'energia dels components electrònics (Resistores, capacitores, etc.). És una llei que està relacionada en el camp potencial generat per fonts de tensió. En este camp potencial, sense importar que components electrònics estiguen presents, el guany o pèrdua de l'energia donada pel camp potencial deu ser zero quan una càrrega completa un llaç.

Camp elèctric i potencial elèctric

La llei de tensió de Kirchhoff pot vore's com una conseqüència del principi de la conservació de l'energia. Considerant eixe potencial elèctric es definix com una integral de llínea, sobre un camp elèctric, la llei de tensió de Kirchhoff pot expressar-se com:

${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=0,$

Que diu que l'integral de llínea del camp elèctric al voltant d'un llaç tancat és zero.

Per a retornar a una forma més especial, esta integral pot "partir-se" per a conseguir la tensió d'un component en específic.

Cas pràctic

Erro al crear miniatura:

Eixemple de les lleis de Kirchhoff.

Assumint una ret elèctrica consistent en dos fonts i tres resistències, disponem la següent resolució: (abans d'escomençar, és necessari aclarir la convenció de signes: si recórrec la malla a favor de la corrent, el potencial associat a la resistència és negatiu; cas contrari és positiu. Si recórrec la font i hi ha una pujada de potencial (de - a +), la fem és positiva; cas contrari és negativa.

D'acort en la primera llei de Kirchhoff (llei dels nodos), tenim:

$i_1-i_2-i_3=0$

La segona llei de Kirchhoff (llei de les malles), aplicada a la malla segons el circuit tancat s₁, nos fa obtindre:

$-R_2{i}_2+{\epsilon }_1-R_1{i}_1=0$

La segona llei de Kirchhoff (llei de les malles), aplicada a la malla segons el circuit tancat s₂, per la seua banda:

$-R_3{i}_3-{\epsilon }_2-{\epsilon }_1+R_2{i}_2=0$

Per lo anterior, se nos planteja un sistema d'equacions en les incògnites $i_1,i_2,i_3$:

$\{\begin{array}{cc}{i}_1-i_2-i_3& =0\\ -R_2{i}_2+{\epsilon }_1-R_1{i}_1& =0\\ -R_3{i}_3-{\epsilon }_2-{\epsilon }_1+R_2{i}_2& =0\end{array}$

Donades les magnituts:

$R_1=100,R_2=200,R_3=300,{\epsilon }_1=3,{\epsilon }_2=4$,

la solució definitiva seria:

$\{\begin{array}{c}{i}_1=\frac{1}{1100}\\ i_2=\frac{4}{275}\\ i_3=-\frac{3}{220}\end{array}$

Es pot observar que $i_3$ té signe negatiu, lo que significa que la direcció de $i_3$ és inversa respecte de lo que hem assumit en un principi (la direcció de $i_3$ -en roig- definida en l'image).

Llimitacions

Les lleis de circuits de Kirchhoff són el resultat del model de paràmetros concentrats i abdós depenen de que el model siga aplicable al circuit en qüestió. Quan el model no és aplicable, les lleis no s'apliquen.

La llei de la corrent depén de la suposició de que la càrrega neta en qualsevol cable, unió o component és constant. Quan el camp elèctric entre les parts del circuit no és despreciable, com quan dos cables estan acoplats capacitivament, est pot no ser el cas. Açò ocorre en els circuits de CA d'alta freqüència, a on el model d'element fix ya no és aplicable. Per eixemple, en una llínea de transmissió, la densitat de càrrega en el conductor pot estar canviant constantment.

En una llínea de transmissió, la càrrega neta en diferents parts del conductor canvia en el temps. En el sentit físic directe, açò viola la KCL.

Per un atre costat, la llei de la tensió es basa en el fet de que les accions dels camps magnètics que varien en el temps es llimiten a components individuals, com els inductores. En realitat, el camp elèctric induït produït per un inductor no està confinat, pero els camps fugats són a sovint despreciables.

Modelisació de circuits reals en elements concentrats

L'aproximació d'un circuit per mig d'elements concentrats és precisa a baixes freqüències. A freqüències més altes, els fluix filtrats i les densitat de càrrega variables en els conductors es tornen significatius. Fins a cert punt, encara és possible modelar tals circuits usant components paràsits. Si les freqüències són massa altes, pot ser més apropiat simular els camps directament utilisant modelació d'elements finitos o atres tècniques.

Per a modelar circuits de manera que es puguen seguir utilisant abdós lleis, és important entendre la distinció entre els elements físics dels circuits i els elements ideals. Per eixemple, un cable no és un conductor ideal. A diferència d'un conductor ideal, els cables poden acoplar-se inductiva i capacitivamente entre sí (i a sí mateixos), i tenen un retart de propagació finit. Els conductors reals poden modelar-se en térmens d'elements agrupats considerant capacitancias paràsites distribuïdes entre els conductors per a modelar l'acoplament capacitivo, o inductàncias paràsites (mútues) per a modelar l'acoplament inductivo. Els cables també tenen certa autoinductancia.

Lleis de Kirchhoff en electrònica

Les lleis de corrents i diferències de potencial de Kirchhoff s'apliquen a circuits electrònics en paràmetros agrupats, és dir, circuits que no irradian, a on l'energia pot considerar-se concentrada en els components del circuit. Baix estes hipòtesis, les lleis de Kirchhoff són una aproximació de les lleis de l'electromagnetisme de Maxwell, que no impliquen cap hipòtesis sobre la naturalea dels components del circuit.

Les dos lleis de Kirchhoff contenen un equilibri de corrents o diferències de potencial (i per tant d'energia) en el circuit elèctric; Este equilibri és particularment important en l'anàlisis de circuits elèctrics com a ferramenta bàsica, ya que permet escriure relacions (equacions) de les malles i els nodos. Ademés, en l'anàlisis dels estats transitoris elèctrics (és dir, les condicions no estacionarias del circuit), la violació de les equacions de Kirchhoff indica la presència de fenomens impulsius (es deu usar, en este cas, les lleis operatives (de Laplace), i les lleis de Kirchhoff seguiran sent vàlides).