Anàlisis no estàndar

Archiu:Gottfried Wilhelm Leibniz, Bernhard Christoph Francke.jpg

Gottfried Leibniz va argumentar que devien introduir-se números idealizados que contingueren infinitesimalés

La història del càlcul està repleta de debats filosòfics sobre el significat i la validea llògica dels números denominats fluxiones o infinitesimalés. La forma estàndar de resoldre estos debats és definir les operacions de càlcul utilisant procediments épsilon-delta en lloc d'infinitesimals. El anàlisis no estàndar reformula el càlcul utilisant una noció llògicament rigorosa dels números infinitesimalés.

La tècnica de l'anàlisis no estàndar es va originar a principis de la década de 1960, sent impulsada pel matemàtic Abraham Robinson, qui va escriure:

... l'idea de cantitats infinitament chicotetes o "infinitesimals" sembla apelar naturalment a la nostra intuïció. De tots modos, l'us d'infinitesimals va estar molt estés durant les etapes formatives del Càlcul Diferencial i Integral. Sobre l'objecció ... de que la distància entre dos número real distints no pot ser infinitament menuda, Gottfried Leibniz va argumentar que la teoria dels infinitesimals implica l'introducció de números ideals que podrien ser infinitament menuts o infinitament grans en comparació als número real, pero que devien "posseir les mateixes propietats que estos últims".

Robinson va argumentar que esta llei de continuïtat de Leibniz és un precursor del principi de transferència, i va continuar afirmant que:

No obstant, ni ell ni els seus discípuls i successors varen poder donar un desenroll racional que conduïra a un sistema d'este tipo. Com a resultat, la teoria dels infinitesimals va caure gradualment en descrèdit i finalment va ser reemplaçada per la teoria clàssica dels llímits.

i per últim, va argumentar que:

... Les idees de Leibniz poden ser plenament reivindicades i ... conduïxen a un enfocament nou i fructífer de l'Anàlisis clàssic i de moltes atres branques de les matemàtiques. La clau del nostre método la proporciona l'anàlisis detallat de la relació entre els llenguages matemàtics i les estructures matemàtiques que es troba en la base de la lliteratura contemporànea de la teoria de models.

En 1973, l'intuicionista Arend Heyting va elogiar curiosament l'anàlisis no estàndar com "un important model estàndar d'investigació matemàtica".

Introducció

Un element distint de zero d'un cos ordenat $𝔽$ és infinitesimal si i solament si el seu valor absolut és més chicotet que qualsevol element de $𝔽$ de la forma $\frac{1}{n}$, sent $n$ un número natural estàndar. Els cossos ordenats que tenen elements infinitesimals també es denominen no arquimedianos. De manera més general, l'anàlisis no estàndar és qualsevol forma de matemàtiques que es base en el model no estàndar i en el principi de transferència. Un cos que satisfà el principi de transferència per a número real és un número hiperreal, i l'anàlisis real no estàndar utilisa estos cossos com "models no estàndar" dels número real.

L'enfocament original de Robinson es va basar en estos models no estàndar del cos dels número real. El seu llibre fundacional clàssic sobre el tema Anàlisis no estàndar va ser publicat en 1966 i s'ha seguit imprimint durant molts anys. En la pàgina 88, Robinson escriu:

Thoralf Skolem (1934) va descobrir l'existència de models aritmètics no estàndar. El método de Skolem presagia la construcció de l'ultrapotencia [...]

Es deuen abordar varis problemes tècnics per a desenrollar un càlcul d'infinitesimals. Per eixemple, no és suficient construir un cos ordenat en infinitesimals. Consulte's l'artícul sobre números hiperrales per a obtindre una discussió sobre algunes de les idees més rellevants.

Definicions bàsiques

En esta secció es descriu un dels enfocaments més simples per a definir un cos hiperreal ${}^{*}ℝ$. Siga $ℝ$ el cos dels número real i $\mathbb{N}$ siga el semianillo dels número natural. Denote's per ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ el conjunt de seqüències d'número real. Un cos ${}^{*}ℝ$ es definix com un cocient propi de ${ℝ}^{\mathbb{N}}$, com seguix. Prenga's un ultrafiltro $F\subseteq P(\mathbb{N})$ no principal. En particular, $F$ conté un filtre de Fréchet. Considere's un parell de seqüències

$u=(u_n),v=(v_n)\in {ℝ}^{\mathbb{N}}$

Es diu que $u$ i $v$ són equivalents si coincidixen en un conjunt d'índexs que és membre del ultrafiltro, o en fòrmules:

$\{n\in \mathbb{N}:u_n=v_n\}\in F$

El cocient de ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ per la relació d'equivalència resultant és un cos hiperreal ${}^{*}ℝ$, una situació resumida per la fòrmula ${}^{*}ℝ={ℝ}^{\mathbb{N}}/F$.

Vore també

• Número hiperreal
• Infinitesimal
• Número surreal

Bibliografia

• Crowell, Calculus . Un text que usa infinitesimals.
• Robert Goldblatt (1998) Conferències sobre els Hiperreales . Introducció a l'anàlisis no estàndar. Graduate Texts in Mathematics, 188. Springer-Verlag
• Bell, Anàlisis no estàndar i els hiperreal . Una suau introducció.
• Hurd, A.E. i Loeb, P.A .: "Una introducció a l'anàlisis real no estàndar", Londres, Academic Press, 1985. ISBN 0-12-362440-1
• Keisler, H. Jerome Càlcul elemental: un enfocament que usa infinitesimals . Inclou un tractament axiomàtic dels hiperrealistas i està disponible gratuïtament baix una llicència Creative Commons.
• Keisler, H. Jerome: = 56CdHOthtHqfNQcD6pS_UYfOAFE # v = onepage & q =% 22An% 20Infinitesimal% 20Approach% 20to% 20Stochastic% 20Analysis% 22 & f = false Un enfocament infinitesimal per a l'anàlisis estocàstic , vol. 297 de Memòries de la Societat Matemàtica Nortamericana, 1984.

• Naranong S., Anàlisis no estàndar des d'una perspectiva teòrica de models ' '. Una introducció simplificada en l'esperit de Robinson.
• Robinson, A. Anàlisis no estàndar. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 64 = Indag. Matemàtiques. 23 (1961) 432–440.
• Robert, A. Anàlisis no estàndar, Wiley, Nova York 1988. ISBN 0-471-91703-6
• Skolem, Th. (1934) "Sobre la no caracterizabilidad de la série de números per mig d'un número infinit d'enunciats finitos o contables en sol variables numèriques", Fonamenta Mathematicae 23: 150-161.
• Stroyan, K. Una breu introducció al càlcul infinitesimal
• Gordon E., Kusraev A. i Kutateladze S.. Anàlisis infinitesimal
• Tao, T. Un épsilon d'habitació, II. Pàgines del tercer any d'un blog de matemàtiques. Societat Americana de Matemàtiques, Providence, Rhode Island, 2010 (págs. 209-229).