Cos ordenat no arquimediano

En matemàtiques, un cos ordenat no arquimediano és un cos ordenat que no satisfà l'axioma de Arquímedes. Eixemples d'això són el cos de Levi-Civita, els números hiperreales, els números surreales, el cos de Dehn i el cos de les funcions racionals en coeficients reals d'un orde adequat.

Definició

l'axioma de Arquímedes és una propietat de certs camps ordenats com els número racional o els número real, indicant que daus dos elements no nuls, existix un múltiple sancer del més chicotet que supera al major. Si un camp conté dos elements positius x < i per als quals açò no és cert, llavors x/i deu ser un infinitesimal, major que zero pero menor que qualsevol fracció unitària sancera. Per tant, la negació de la propietat de Arquímedes equival a l'existència d'infinitesimals.

Aplicacions

Els cossos hiperreales, cossos ordenats no arquimedianos que contenen als número real com subcuerpo, es poden utilisar per a proporcionar una base matemàtica per al anàlisis no estàndar.

Max Dehn va usar el cos de Dehn, un eixemple d'un cos ordenat no arquimediano, per a construir geometria no euclídeas en les que el quint postulat de Euclides no siga verdader pero, no obstant, els triànguls tenen ànguls que sumen π. El cos de funcions racionals sobre $ℝ$ es pot utilisar per a construir un cos ordenat que siga complet (en el sentit de convergència de seqüències de Cauchy) pero que no siga sobre els número real. Esta completación es pot descriure com el cos de series formals de Laurent sobre $ℝ$. A voltes, el terme completación s'utilisa per a significar que la propietat del llímit superior mínim es complix. En este significat de completitud de Dedekind no hi ha cossos ordenats complets que no siguen arquimedianos. La sotil distinció entre estos dos usos de la paraula completitud és en ocasions font de confusió.