Pla de Dehn

El matemàtic alemà Max Dehn va introduir dos eixemples coneguts com a plans de Dehn, una geometria semieuclídea i una geometria no legendriana, en les que existixen infinites rectes paraleles a una recta donada que passen per un punt determinat, pero a on la suma dels ànguls d'un triàngul és a lo manco Π. Un fenomen similar ocorre en geometria hiperbòlica, llevat perque la suma dels ànguls d'un triàngul és menor que Π. Els eixemples de Dehn utilisen un cos que no és arquimediano, i en conseqüència, no es verifica l'axioma de Arquímedes. Varen ser presentats per Max Dehn (1900) i discutits per Hilbert (1902, pp. 127–130, o pp. 42–43 en edicions posteriors).

Cos de Dehn no arquimediano Ω(t)

Per a construir les seues geometria, Dehn va utilisar un cos pitagórico ordenat no arquimediano Ω(t), el tancament pitagórico del cos de funcions racionals R(t), format pel cos més chicotet de funcions racionals en valors en la recta real que conté les constants reals, la funció identitat t (que aplica qualsevol número real a sí mateixa) i tancada baix l'operació $\omega \mapsto \sqrt{1+{\omega }^2}$) s'ordena indicant que (x > i) si la funció x és major que i per a número real suficientment grans. Un element x de Ω(t) es diu finito si m < x < n per a alguns número entero m i n; i en cas contrari es diu infinit.

Geometria semieuclídea de Dehn

El conjunt de tots els parells (x, i), a on x i i són elements qualssevol (que poden ser infinit) del cos Ω(t), i en la mètrica habitual:

$\Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2},$

que pren valors en Ω(t), dona un model de geometria euclídea. El postulat de les paraleles és cert en este model, pero si la desviació de la perpendicular és infinitesimal (és dir, menor que qualsevol número racional positiu), les llínees que es creuen ho fan en un punt que no està en la part finita del pla. Per lo tant, si el model es restringix a la part finita del pla (punts (x,i) en x i i finitos), s'obté una geometria en la que el postulat de les paraleles falla, pero la suma dels ànguls d'un triàngul és Π. Esta és la geometria semieuclídea de Dehn. S'analisa en Rucker (1982, pp. 91–2).

Bibliografia

• (1900).«Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck».Mathematische Annalen.53(3)

404–439.ISSN 0025-5831.doi:10.1007/BF01448980.

• (1902).«The foundations of geometry».The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill..