Cos pitagórico

En àlgebra, un cos pitagórico és un cos en el que cada suma de dos quadrats és un quadrat: equivalentemente té un número de Pitágoras igual a 1. Una extensió pitagórico d'un cos $F$ és una extensió de cossos obtinguda en adjuntar un element $\sqrt{1+{\lambda }^2}$ per a alguns $\lambda \in F$. Aixina que un cos pitagórico és un tancat baix extensions pitagórico ulteriors. Per a qualsevol cos $F$ hi ha un cos pitagórico mínim $F^{\mathrm{p}\mathrm{y}}$ que ho conté, únic llevat isomorfisme, cridat la seua clausura pitagórico. El cupero de Hilbert és el cos ordenat pitagórico més chicotet possible que conté als número racional.

Propietats

Cada cos euclídeo (un cos ordenat en el que tots els elements no negatius són quadrats) és un cos pitagórico ordenat, pero el recíproc no sempre es complix. Un cos cuadráticamente tancat és un cos pitagórico, pero el recíproc no és cert ($𝐑$ és pitagórico); no obstant, un cos pitagórico no formalment real és cuadráticamente tancat.

l'anell de Witt d'un cos pitagórico és d'orde dos, si el cos no és formalment real, i lliure de torsió en cas contrari. Per a un cos $F$ hi ha una successió exacta que involucre al anells de Witt:

$0\to \mathrm{Tor}IW(F)\to W(F)\to W(F^{\mathrm{p}\mathrm{y}})$

a on $IW(F)$ és l'ideal fonamental de l'anell de Witt de $F$ i $\mathrm{Tor}IW(F)$ denota el seu subgrup de torsió (que és solament el nilradical de $W(F)$).

Condicions equivalents

Les següents condicions en un cos $K$ són equivalents a que $K$ siga pitagórico:

• El o-invariante $u(K)$ és 0 o 1.
• Si $ab$ no és un quadrat de $F$ ($ab\ne x^2$, llavors hi ha un orde en $K$ per al qual $a$ i $b$ tenen signes diferents.
• $K$ és l'intersecció de les seues clausura euclídeas.

Models de geometria

Els cossos pitagórico es poden usar per a construir models para alguns dels axioma de Hilbert per a la geometria Plantilla:Harv. La geometria de coordenades donada per $F^n$ per a $F$ un cos pitagórico satisfà molts dels axioma de Hilbert, com els axioma d'incidència, els axioma de congruència i els axioma de paralelisme. No obstant, en general, esta geometria no necessita satisfer tots els axioma de Hilbert a menos que el cos $F$ tinga propietats adicionals: per eixemple, si el cos també està ordenat, llavors la geometria satisfarà els axioma d'orde de Hilbert, i si el cos també és complet, la geometria satisfarà l'axioma de completitud de Hilbert.

La clausura pitagórico d'un cos ordenat no arquimediano, com la clausura pitagórico del cos de funcions racionals $𝐐(x)$ en una variable sobre els número racional $𝐐,$ pot usar-se per a construir geometria no arquímedianas que satisfacen molts dels axioma de Hilbert pero no el seu axioma de completitud. Dehn va usar tal cos per a construir dos plans de Dehn, eixemples de geometria no-legendriana i geometria semi-euclidiana respectivament, en la que hi ha moltes llínees a través d'un punt que no interseca una llínea donada pero a on la suma dels ànguls d'un triàngul és a lo manco π.

Referències

Bibliografia

• (1900).«Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck».Mathematische Annalen.53(3)

404–439.ISSN 0025-5831.doi:10.1007/BF01448980.

• (2006).«Valuations, orderings, and Milnor K-theory».American Mathematical Society.Providence, RI:124
• (1972).«Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields».American Journal of Mathematics.94(4)

1155–1194.ISSN 0002-9327.doi:10.2307/2373568.

• (2010).«Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and senar-Euclidean geometries».Am. Math. Mon..117

198–219.ISSN 0002-9890.doi:10.4169/000298910x480063.

• (1980).«Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II».MIT Press.
• (1983).«Orderings, valuations and quadratic forms».American Mathematical Society.52
• (2005).«Introduction to quadratic forms over fields».American Mathematical Society.Providence, R.I.:67

255–264.

• (1998).«Geometric Constructions».Springer-Verlag.
• (1973).«Symmetric Bilinear Forms».Springer-Verlag.73
• (1993).«Squares».Cambridge University Press.171