Número hiperreal

Els números hiperreales són una extensió del conjunt dels número real que permeten entre uns atres formalisar algunes operacions en infinitésimos, i provar alguns resultats clàssics del anàlisis real de manera més senzilla.

El sistema de números hiperreales és una manera de tractar cantitats infinites i infinitesimals. Els hiperreales o reals no estàndar, ${}^{*}ℝ$, són una extensió dels número real $ℝ$ que contenen números majors que

Tal número és infinit, i el seu recíproc infinitesimal. El terme "hiper-real" va ser presentat per Edwin Hewitt en 1948.

Com estructura algebraica són un cos no arquimediano i métricamente incomplet que conté al conjunt arquimediano i complet identificable en els número real. Formalment poden construir-se de manera totalment rigorosa a partir d'una axiomatisació de primer orde dels número real. Dita axiomatisació és una teoria no categòrica i per tant admet varis models no isomorfos, un d'ells els número real estàndar i un atre d'ells identificable en els hiperreales. Ademés si es pretén evitar la teoria de models pot ampliar-se la teoria dels número real per mig d'un predicat abstracte (semánticamente interpretable com "x és un número real estàndar") i tres axioma adicionals que descriuen dit predicat (estos predicats permeten caracterisar la diferència entre un número real estàndar i un hiperreal no convencional).

Història

El concepte de número hiperreal prové del anàlisis no estàndar, domini que va ser desenrollat en els anys 1970 per Abraham Robinson, encara que té antecedents en els treballs de Wilhelmus Luxemburg en els anys 1960 i Edwin Hewitt (1948). l'anàlisis no estàndar pretén, i conseguix, justificar rigorosament l'ocupació de números infinits i infinitesimals. El conjunt dels reals més estos nous elements es denominen números hiperreales i es designen per ${}^{*}ℝ$, complint-se que $ℝ\subset {}^{*}ℝ$. D'alguna manera, els antics matemàtics grecs varen amprar una aproximació intuïtiva als números hiperreales, encara que d'un modo totalment intuïtiu i no rigorós. Per a estos matemàtics, una llongitut a era infinitesimal comparada en b si multiplicant-la per qualsevol sancer mai es conseguiria superar a b: 2a, 3a, 4a... 1000a...n·a... són tots inferiors a b (en n un sancer qualsevol). Esta definició és la negació mateixa de la propietat fonamental que diu que el conjunt dels número real és arquimediano.

Entre la renaixença i el XVIII es va tornar a utilisar els infinitesimals i Gottfried Leibniz va propondre una teoria, construïda a partir d'un número infinit «major que tots els sancers existents». Esta teoria no tenia fonaments llògics sòlits, pero permetia fer els càlculs que necessitaven els físics, sobretot en les equacions diferencials. L'anàlisis no estàndar formalisa les nocions de l'aritmètica d'infinitesimals i infinits de Leibniz com a números hiperreales no estàndar. Ademés d'infinitesimals i illimitats (infinits), es definixen els llimitats (complement del conjunt anterior) i apreciables (ni infinitésimos, ni illimitats). A partir d'estos quatre conjunts es tenen les següents regles de Leibniz per a les operacions aritmètiques d'estos conjunts:

+/-	infinitesimal	llimitat	apreciable	illimitat
infinitesimal	infinitesimal	llimitat	apreciable	illimitat
llimitat	llimitat	llimitat	llimitat	illimitat
apreciable	apreciable	llimitat	llimitat	illimitat
illimitat	illimitat	illimitat	illimitat	?

Per a la multiplicació les regles de Leibniz són les següents:

x	infinitesimal	llimitat	apreciable	illimitat
infinitesimal	infinitesimal	infinitesimal	infinitesimal	?
llimitat	infinitesimal	llimitat	llimitat	?
apreciable	infinitesimal	llimitat	apreciable	illimitat
illimitat	?	?	illimitat	illimitat

Estes regles heurístiques es varen seguir amprant fins a ben entrat el XVIII, quan es va inventar i va perfeccionar la teoria dels llímits, que les va fer inútils. Cauchy, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Bolzano i Heine entre atres matemàtics s'havien ocupat de precisar d'una manera totalment rigorosa els conceptes de continuïtat i llímit. Estos matemàtics varen desenrollar un formalisme rigorós que permetia eliminar numeroses aporías i paradoxes de l'anàlisis (vore per eixemple 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·). El preu d'este rigor va ser un formalisme pesat i poc intuïtiu, encara que més productiu i lliure de contradiccions. Es va somiar en els sigles XIX i XX en inventar unes matemàtiques que donarien cabuda als enyorats números infinits (grans o menuts).

La tentació era sempre afegir estes cantitats mal definides al conjunt dels número real, pero el problema era que es tenia llavors que averiguar si les teoremes vigents en els reals eren o no vàlits per als hiperreales. Naturalment, mai es va conseguir, perque no era el método adequat.

Construcció

Existixen tres maneres concebibles d'aplegar a construir un conjunt com el dels números hiperreales:

• La construcció directa afegint un número de números hiperreales als reals i postulant regles ad hoc específiques per a les operacions aritmètiques (històricament est és la via per la que es varen introduir els infinitésimos). Els infinitésimos serien números més chicotets que qualsevol número real convencional, i els seus respectius inversos correspondrien a números "infinits" o "no acotats").
• Com a extensió de la teoria dels reals, este enfocament el que possiblement permet manejar més fàcilment els números hiperreales i demostrar resultats consistix en introduir un nou predicat $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}(\cdot )$ i tres axioma nous cridats de "principi de transferència", "principi de idealisació" i "principi de estandardisació".
• Com a model no estàndar de la teoria dels número real.

Representació intuïtiva

El model de construcció directa és el menys formal dels procediments de construcció, i per tant formalment és el més endeble. No obstant, moltes de les intuïcions que varen dur a les atres construccions formals varen partir de generalisar les propietats possibles dels infinitesimals. La representació intuïtiva d'esta secció ilustra les propietats dels sistemes formalment constructibles per atres métodos i als que es podrien aplegar generalisant l'adició directa.

En la figura següent s'ha representat la recta dels hiperreales a tres escales distintes: ω és un número infinit qualsevol (com els que pot demostrar-se que existixen en un model no estàndar de la teoria dels reals) i ε és un infinitesimal, també qualsevol. Abdós són positius.
Per a passar d'una llínea a la següent engrandim l'escala d'un factor infinit. En la primera llínea, els números finitos no es poden distinguir perque estan tots infinitament pròxims al zero, com pegats. En la segona són els infinitesimals que no es poden entrevore, i els infinits estan llògicament a una distància infinita del zero.

Els infinits d'esta teoria no són els introduïts per Georg Cantor en el context dels ordinals i cardinals, encara que es pot trobar un anàlec d'estos dins dels hiperreales. No obstant, la noció de número infinit per a ordinals solament s'interessa en els números sancers, mentres que l'anàlisis no estàndar s'ocupa dels reals. Per eixemple, si $\omega$ designa el primer infinit numerable, llavors $\frac{\omega }{2}$ o $\sqrt{7}\omega$ carixen de sentit per a la teoria d'ordinals, mes no quan es tracten de hiperreales.

Construcció directa

Els números hiperreales poden ser concebuts com un conjunt infinit i estratificado de còpies d'un conjunt dels números hiperreales llimitats $𝕃=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}({}^{*}ℝ)$. Note's que este conjunt conté a tots els número real ordinaris $ℝ\subset 𝕃$ ademés dels seus respectius "halos" (vore més alvance). El halo o mónada d'un número real x és un conjunt de números hiperreales infinitesimalmente propencs a x:

La noció d'infinitesimal pot definir-se rigorosament en el llenguage de la teoria dels número real esteses en el predicat "estàndart" (vore més alvance). De fet tots els números infinitesimals resulten ser tots els números hiperreales no nuls que configuren la mónada de el número real 0:

El conjunt dels número real junt en els seus mónadas satisfà la relació:

Per a qualsevol número infinitesimal $ϵ\ne 0$ definixca's el número hiperreal no llimitat $h_{ϵ}=1/ϵ\notin ℝ$, i una "còpia traslladada" de $𝕃$:

Finalment el conjunt dels hiperreales pot concebre's com el conjunt reunió de totes les còpies traslladades en l'anterior:

Extensió a partir de la teoria dels reals

Una atra possibilitat llògica oferida per la llògica matemàtica. Els número real convencionals són una realisació possible de l'anomenada teoria de primer orde dels número real. Dita teoria consistix en un conjunt de axioma expressables en un llenguage formal de primer orde. Els número real usats comunament en la resolució de problemes d'anàlisis matemàtics satisfan dits axioma, aixina com totes les teoremes llògicament deduibles a partir de dits teoremes per mig de les regles de deducció de dit llenguage formal. Si es modifiquen llaugerament els axioma o s'introduïxen alguns símbols nous en l'alfabet bàsic del llenguage formal original pot obtindre's un model que incloga números en les propietats tradicionalment atribuibles als números infinitesimals.

Per a construir el sistema dels números els hiperreales segons este enfocament, no cal tocar la construcció dels conjunts de números, sino el llenguage llògic-formal que servix de fonament per a eixa construcció (és dir, els axioma que el model buscat deu satisfer). Açò pot fer-se a partir d'una formalisació axiomàtica la teoria dels conjunts numèrics com la que pot obtindre's a partir dels axioma de Zermelo-Fraenkel. A partir de dita teoria pot usar-se el teorema de compacidad de la llògica de primer orde per a obtindre un model en les propietats desijades. Eixe model permetia ademés afegir als vells axioma nous axioma a la teoria consistents en els anteriors. Concretament, A. Robinson va inventar un nou predicat unario: "estàndart" i d'ahí es presenta dos casos: un número x és estàndar o no ho és, en relació en açò, és molt important la següent distinció entre propietat interna i externa:

Una propietat o proposició és interna si es pot expressar en la teoria de Zermelo-Fraenkel, és dir si no requerix la paraula estàndar o una de les seues derivades per a definir-se. S'ampra també la paraula estàndar per a qualificar a una fòrmula interna lo que pot provocar confusió: una fòrmula és estàndar si no conté la paraula estàndar...

Una fòrmula és externa quan no es pot escriure sense amprar la paraula estàndar o una de les seues derivades.

Després es va impondre tres condicions a este predicat (cridades transferència, idealisació i estandardisació) per a assegurar-se de l'existència de nous números, no estàndars, en les propietats adequades, dignes d'infinitesimals i infinits, més concretament es va formular la propietat de transferència.

Axioma de transferència i idealisació

Esta propietat de transferència és la següent:

Si per a qualsevol x estàndar, P (x) és cert (P és una proposició interna) llavors P (x) és cert per a qualsevol x (siga o no estàndar):

Esta propietat significa que totes les regles clàssiques, que són certes en les matemàtiques usuals es generalisen sense canvi algun als objectes no estàndars. O siga, no cal demostrar-les de nou. Per eixemple, siga P (x) la proposició: si x > 0 llavors existix i tal que 0 < i < x. Sabem que P (x) és sempre certa en els reals usuals (para i n'hi ha prou en prendre x/2). P és ademés una proposició interna. En conseqüència, P és vàlida també per a tots els reals no estàndars. La transferència s'ampra a sovint baix la seua forma contraposta:

Lo que es pot parafrasear aixina: si existix un element que verifique una propietat interna, llavors existix un element estàndar que també ho verifique. La propietat de idealisació és la següent (en P una proposició interna):

Si para tot x estàndar existix un i tal que P (x, i) siga certa, llavors existix un i tal que para tot x estàndar, P (x, i) siga certa:

S'ha permutat els x i els i, i el nou i és ideal en el sentit que funciona en tots els x. Per eixemple, prengam el P anterior: P (x, i) significa: 0 < i < x. Sabem que per a qualsevol x>0 estàndart, existix un i entre ell i 0, per lo tant deu existir un i ideal que siga sempre entre 0 i qualsevol x > 0 estàndart. En atres paraules, existix un número distint de zero pero inferior a qualsevol real positiu. Este número és per definició un infinitesimal, i es denota la seua naturalea aixina: $y\approx 0$

De la mateixa manera es demostra que existixen números infinits (que no tenen res a vore en els ordinals infinits o els cardinals infinits): Per a tot x estàndar existix un i major (per eixemple x + 1 ), després existix un i ideal major que tots els x estàndars: és per definició un número infinit, lo que es denota $y\approx +\mathrm{\infty }$. La propietat de l'estandardisació és tècnica, i de poc interés de moment.

Hiperreales com a model no estàndar

El conjunt dels hiperreales constituïx un model en el sentit de la teoria de models dels axioma de la teoria de primer orde que definix axiomaticamente els número real. Dita teoria no és llògicament completa per lo que admet diversos models no isomorfos. Els número real ordinaris són un model per a dita teoria, un atre model possible són els números hiperreales, que satisfan els axioma de la teoria axiomàtica dels número real pero algunes propietats vàlides en el model estàndar no són vàlides en el model no estàndar (encara que abdós models satisfan totes les teoremes deduibles de la teoria axiomàtica).

Una manera natural de construir el model no estàndar dels números hiperreales a partir del model estàndar (número real ordinaris) és definir un llenguage de primer orde ${ℒ}_{ℝ}$ a on ademés de signes per a quantificadors, relacions/predicats i funcions s'incloguen un número infinit de constants c_a (una per a cada número real construible en la teoria). Eixe llenguage pot formalisar els número real ordinaris que constituïxen un model possible de dit llenguage. Ara considere's el conjunt Σ de sentències expressables en dit llenguage donat per:

Note's que este conjunt és infinit, ya que existix un número infinit de constants i a on les parts que ho definixen són:

$\mathrm{T}\mathrm{h}ℝ=\{p\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}({ℒ}_{ℝ})|ℝ\models p\}$

$x_1$ és una variable qualsevol del llenguage ${ℒ}_{ℝ}$.

, és el conjunt de sentències expressables en ${ℒ}_{ℝ}$ que són vàlides en el model dels número real ordinaris. Donat qualsevol subconjunt finit de l'anterior ${\Sigma }_0\subset \Sigma$ és satisfactible sense més que assignar a la variable x₁ un valor b suficientment alt dins de $ℝ$ (el model estàndar) donada la finitud del subconjunt sempre és possible satisfer esta condició:

Ademés el teorema de compacidad garantisa l'existència d'un model que conté a l'anterior a on se satisfà que:

Pot comprovar-se que este model conté elements no acotats com a H, i per tant, este model pot interpretar-se com el conjunt dels números hiperreales en el que se satisfan les mateixes teoremes que satisfeen els reals ordinaris.

Vore també

• Infinitesimal
• Número real
• Números superreales

• Números surreales

---

El contingut d'este artícul incorpora material d'una entrada de l'Enciclopèdia Lliure Universal, publicada en castellà baix la llicència GFDL.

---

Bibliografia

• Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of contínua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
• (1995) Diner & Diener (ed.). Nonstandard Analysis in Practice (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-60297-2.
• (1996).«Senar-standard analysis».Princeton University Press.