Mida de conteo

En matemàtiques, específicament en teoria de mides, la mida de conteo és una forma intuïtiva de posar una mida en qualsevol conjunt: el "tamany" d'un subconjunt es considera el número d'elements en el subconjunt si el subconjunt té un número finit d'elements i infinit $\mathrm{\infty }$ si el subconjunt és infinit.

La mida de conteo es pot definir en qualsevol espai mensurable (és dir, qualsevol conjunt $X$ junt en sigma-àlgebra) pero s'usa principalment en conjunts contables.

En notació formal, podem convertir qualsevol conjunt $X$ en un espai mesurable prenent el conjunt de potències de $X$ com l'àlgebra sigma $\Sigma ;$ és dir, tots els subconjunts de $X$ són conjunts mesurables. Llavors la mida de conteo $\mu$ en este espai mensurable $(X,\Sigma )$ és la mida positiva $\Sigma \to [0,+\mathrm{\infty }]$ definit per$$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{si }A\text{ es finit}\\ +\mathrm{\infty }& \text{si }A\text{ es infinito}\end{array}$$per a tots $A\in \Sigma ,$ on $|A|$ denota la cardinalidad del conjunt $A.$

La mida de conteo en $(X,\Sigma )$ és σ-finit si i només si l'espai $X$ és contable.

Integració en $\mathbb{N}$ en mida de conteo

Pren l'espai de mida $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},\mu )$, on $2^{\mathbb{N}}$ és el conjunt de tots els subconjunts dels naturals i $\mu$ la mida de conteo. Prenga qualsevol mensurable $f:\mathbb{N}\to [0,\mathrm{\infty }]$. Com es definix en $\mathbb{N}$, $f$ es pot representar puntualment com$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)1_{\{n\}}(x)=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\varphi }_M(x)}{\underbrace{\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)}}=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varphi }_M(x)$$Cada ${\varphi }_M$ és mensurable. Ademés ${\varphi }_{M+1}(x)={\varphi }_M(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\ge {\varphi }_M(x)$. Encara més, com cada ${\varphi }_M$ és una funció senzilla$$\underset{\mathbb{N}}{\int }{\varphi }_{M}d\mu =\underset{\mathbb{N}}{\int }(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x))d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)$$Per tant, segons la teorema de convergència monòtona$$\underset{\mathbb{N}}{\int }fd\mu =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathbb{N}}{\int }{\varphi }_{M}d\mu =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$$

Discussió

La mida de conteo és un cas especial d'una construcció més general. En la notació anterior, qualsevol funció $f:X\to [0,\mathrm{\infty })$ definix una mida $\mu$ en $(X,\Sigma )$ a través de$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\text{ for all }A\subseteq X,$$a on la suma possiblement incontable de número real es definix com el suprem de les sumes de tots els subconjunts finitos, és dir,$$\sum _{y\in Y\subseteq ℝ}y:=\underset{F\subseteq Y,|F|<\mathrm{\infty }}{\sup }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$Prenent $f(x)=1$ per a tots $x\in X$ dona la mida de conteo.