Mida sigma-finita

En teoria de la mida, una mida sigma-finita ($\sigma$-finita) d'un cert espai de mida és una mida tal que l'espai es pot obtindre com a unió numerable de conjunts de mida finita. Treballar sobre espais mesurables equipats en una mida $\sigma$-finita és interessant, puix hi ha molts resultats que treballen sobre ells, duent en si conseqüències importants, com per eixemple, el Teorema de Fubini.

Definició

Siga $(X,𝒜,\mu )$ un espai de mida. Es diu que $\mu$ és una mida $\sigma$-finita (o simplement direm que $\mu$ és $\sigma$-finita) si

$X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n,\text{donde }{\left\{A_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq 𝒜\text{ con }\mu \left(A_n\right)<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }n\ge 1$

Aixina, si $\mu$ és $\sigma$-finita, direm que l'espai $(X,𝒜,\mu )$ és un espai de mida $\sigma$-finito.

Eixemples

1. L'espai $({ℝ}^d,ℬ\left({ℝ}^d\right),\lambda )$ és un espai $\sigma$-finito, a on $ℬ\left({ℝ}^d\right)$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre ${ℝ}^d$, i $\lambda$ és la mida de Lebesgue sobre ${ℝ}^d$. En efecte, denotem a la bola oberta centrada en $x\in ℝ$ i ràdio $r>0$ per $B(x,r)=\{y\in ℝ:||x-y||<r\}$, a on $||\cdot ||$ denota la norma euclidiana sobre ${ℝ}^d$. Com sobre $({ℝ}^d,{\tau }_{{ℝ}^d})$ es té que una base per a la topología ${\tau }_{{ℝ}^d}$ és la família formada per boles obertes, tenim que, existix $r>0$ tal que ${ℝ}^d=\bigcup _{x\in {ℝ}^d}B(x,r)$, tenint que $\lambda (B(x,r))<\mathrm{\infty }$. Per tant, $({ℝ}^d,ℬ\left({ℝ}^d\right),\lambda )$ és un espai $\sigma$-finito.