Equació d'Abel

La equació d'Abel, cridada aixina per Niels Henrik Abel, és un tipo d'equació funcional que es pot escriure en la forma

$f(h(x))=h(x+1)$

o equivalent,

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

i controla la iteración de f.

Equivalència

Estes equacions són equivalents. Suponent que α és una funció invertible, la segona equació es pot escriure com

${\alpha }^{-1}(\alpha (f(x)))={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+1).$

Prenent x = α⁻¹(i), l'equació es pot escriure com

$f({\alpha }^{-1}(y))={\alpha }^{-1}(y+1).$

Per a una funció f(x) supon que es coneix, la tasca és resoldre l'equació funcional de la funció α⁻¹≡h, que possiblement complixca en requisits adicionals, com α⁻¹(0) = 1.

El canvi de les variables s^α(x) = Ψ(x), per a un paràmetro real s, du l'equació d'Abel a la celebrada equació de Schröder, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

El canvi adicional F(x) = exp(s^α(x)) en l'equació de Böttcher, F(f(x)) = F(x)^s.

L'equació d'Abel és un cas especial de (i es generalisa fàcilment a) la equació de traducció,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v),$

per eixemple, per a $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (Observe ω(x,0) = x.)

La funció d'Abel α(x) proporciona ademés la coordenada canònica per als fluix advectivos de Lie (un paràmetro, els grups de Lie).

Història

Inicialment, es va informar l'equació en la forma més general. Inclús en el cas d'una sola variable, l'equació no és trivial i admet un anàlisis especial.

En el cas d'una funció de transferència llineal, la solució es pot expressar de forma compacta.

Vore també

• Equació funcional
  • Equació de Schröder
  • Equació de Böttcher
• Composicions infinites de funcions analítiques
• Funció iterada
• Operador de tanda
• Superfunción