Equació de Böttcher

La equació de Böttcher és l'equació funcional.

$F(h(z))=(F(z){)}^n$

a on

• h és una funció analítica donada en un punt fix superatrayente d'orde n en a, (és dir, $h(z)=a+c(z-a{)}^n+O((z-a{)}^{n+1}),$ en un entorn de a), en n ≥ 2
• F és una funció buscada.

El logaritmo d'esta equació funcional equival a l'equació de Schröder.

Nom

L'equació du el nom de Lucjan Böttcher.

Solució

La solució de l'equació funcional és una funció en forma implícita .

Lucian Emil Böttcher bosquejó una prova en 1904 sobre l'existència d'una solució: una funció analítica F en un veïnat del punt fix a, tal que:

$F(a)=0$

Esta solució a voltes es diu:

• la coordenada de Böttcher
• La funció Böttcher
• el mapa de Boettcher

La prova completa va ser publicada per Joseph Ritt en 1920, que desconeixia la formulació original.

La coordenada de Böttcher (el logaritmo de la funció de Schröder ) conjuga h(z) en un veïnat del punt fix a la funció zⁿ. Un cas especialment important és quan h(z) és un polinomi de grau n , i a = ∞.

Eixemples

Per a la funció h i n = 2

$h(x)=\frac{x^2}{1-2x^2}$

la funció F de Böttcher és:

$F(x)=\frac{x}{1+x^2}$

Vore també

• Equació de Schröder
• Raig extern