Fluix de curvatura promig

En el camp de la geometria diferencial en matemàtiques, el fluix de curvatura mija és un eixemple d'un fluix geomètric de hipersuperficies en una varietat riemanniana (per eixemple, superfícies planes en l'espai euclidiano tridimensional ). Intuitivament, una família de superfícies evoluciona baix un fluix de curvatura promig si la component normal de la velocitat a la que es mou un punt en la superfície ve donada per la curvatura mija de la superfície. Per eixemple, una esfera redona evoluciona baix un fluix de curvatura mija en encollir-se cap a dins uniformemente (ya que el vector de curvatura mija d'una esfera apunta cap a dins). Llevat en casos especials, el fluix de curvatura promig desenrolla singularitats .

Baixe la restricció de que el volum inclós és constant, açò es diu fluix de tensió superficial.

És una equació diferencial parcial parabòlica, i pot interpretar-se com «suavisat».

Eixemples físics

L'eixemple més familiar de fluix de curvatura promig és l'evolució de les películes de sabó. Un fenomen bidimensional similar són les gotes d'oli en la superfície de l'aigua, que es convertixen en discs (llímit circular).

El fluix de curvatura promig es va propondre originalment com un model per a la formació de llímits de gra en el recocido de metal pur.

Propietats

L'equació de fluix és una equació diferencial parcial parabòlica.

En particular, açò garantisa l'existència d'una solució per a valors menuts del paràmetro de temps.

El fluix de curvatura promig extremaliza l'àrea de la superfície, i les superfícies mínimes són els punts crítics per al fluix de curvatura promig; Els mínims resolen el problema isoperimétrico.

Habitualment, el fluix de curvatura mija forma una característica en un temps finito, del com el fluix deixa de determinar-se.

Baixe l'acció d'un fluix, una hipersuperficie convexa tancada en l'espai euclidiano permaneix convexa. Ademés, es colapsa a un punt en un temps finito, i immediatament fins a este punt la superfície s'acosta a l'esfera estàndar dins d'un canvi d'escala.

En una varietat de Riemann general, la convexidad d'una hipersuperficie no es conserva en el fluix, inclús si ademés necessitem la positividad de la curvatura seccional.

Per als colectors integrats en una varietat de Kähler-Einstein, si la superfície és una subvariedad lagrangiana, el fluix de curvatura mija és de tipo lagrangiano, per lo que la superfície evoluciona dins de la classe de subvariedades lagrangianas.

La fòrmula de monotonicidad de Huisken proporciona una propietat de monotonia de la convolución d'un núcleu de calor invertida en el temps en una superfície somesa al fluix de curvatura mig.

Els fluix relacionats són:

• Fluix d'acurtada de curves, el cas unidimensional de fluix de curvatura mija
• el fluix de tensió superficial
• el fluix de curvatura mija lagrangiano
• el fluix de curvatura mija inversa

Vore també

• Fluix d'acurtada
• Fluix de Ricci

Bibliografia

• .
• .
• . See in particular Equations 3a and 3b.