Fòrmula de monotonicidad de Huisken

En geometria diferencial, la fòrmula monotonicidad de Huisken establix que, si una superfície $n-$dimensional en un espai euclidiano $(n+1)-$dimensional sofrix un fluix de curvatura promig, llavors el seu convolución en una escala apropiada i en inversió del temps kernel de calor no és en aument. El resultat du el nom de Gerhard Huisken, qui ho va publicar en 1990.

Específicament, el núcleu de calor reversible en el temps $(n+1)-$dimensional que convergix a un punt $x_0$ en el temps $t_0$ pot estar donat per la fòrmula

$u(x,t)=\frac{1}{(4\pi (t_0-t){)}^{n/2}}\exp (-\frac{|x-x_0{|}^2}{4(t_0-t)}).$

Després, la fòrmula de monotonicidad de Huisken dona una expressió explícita per a la derivada de

$\int u(x,t)d\mu ,$

.

a on $\mu$ és l'element d'àrea de la superfície en evolució en el temps $t$. L'expressió implica la negació d'una atra integral, que el seu integrant és no negatiu, per lo que la derivada és no positiva.

Normalment, $x_0$ i $t_0$ s'elegixen com el temps i la posició d'una singularitat de la superfície en evolució, i la fòrmula de monotonicidad es pot utilisar per a analisar el comportament de la superfície a mida que evoluciona cap a esta singularitat. En particular, les úniques superfícies per a les quals la convolución en el núcleu de calor permaneix constant en lloc de disminuir són les que es mantenen auto-similars a mida que evolucionen, i la fòrmula de monotonicidad pot usar-se per a classificar estes superfícies.

Grigori Perelman va obtindre fòrmules anàlogues per al fluix de Ricci.