Kernel de calor

En l'estudi matemàtic de la conducció i difusió de la calor, un kernel de calor, o núcleu de calor, és la solució fonamental per a l'equació de la calor en un domini específic en condicions de contorn apropiades. També és una de les ferramentes principals en l'estudi de l'espectre del operador de Laplace i, per lo tant, té una importància auxiliar en la física matemàtica. El kernel de calor representa l'evolució de la temperatura en una regió el llímit de la qual es manté fix a una temperatura particular (típicament zero), de modo que una unitat inicial d'energia tèrmica es coloca en un punt en el moment $t=0$.

Kernel de calor en un espai arbitrari

El kernel de calor més coneguda és el del espai euclidiano $d-$dimensional ${ℝ}^d$, que té la forma d'una funció gaussiana variable en el temps,

$K(t,x,y)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{d/2}}{e}^{-|x-y{|}^2/4t}$

Açò resol l'equació de la calor

$\frac{\partial K}{\partial t}(t,x,y)={\Delta }_{x}K(t,x,y)$

per a tot t > 0 i $x,y$ ∈ , ${ℝ}^d$ a on $\Delta$ és l'operador laplaciano, en la condició inicial

$\underset{t\to 0}{\lim }K(t,x,y)=\delta (x-y)={\delta }_x(y)$

a on $\delta$ és una distribució delta de Dirac i el llímit es pren en el sentit de distribucions. A saber, per a cada funció suau φ de soport compacte,

$\underset{t\to 0}{\lim }\underset{{𝐑}^d}{\int }K(t,x,y)\varphi (y)dy=\varphi (x).$

En un domini més general $\Omega$ en ${ℝ}^d$, tal fòrmula explícita no és generalment possible. Els següents casos més simples d'un disc o quadrat involucren, respectivament, funcions de Bessel i funcions theta de Jacobi. No obstant, el kernel de calor (per eixemple, el problema de Dirichlet) encara existix i és uniforme per a t > 0 en dominis arbitraris i de fet en qualsevol varietat de Riemann en llímit, sempre que el llímit siga suficientment regular. Més precisament, en estos dominis més generals, el kernel de calor per al problema de Dirichlet és la solució del problema del valor llímit inicial

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial K}{\partial t}(t,x,y)=\Delta K(t,x,y)\text{ para todo }t>0\text{ y }x,y\in \Omega \\ & \underset{t\to 0}{\lim }K(t,x,y)={\delta }_x(y)\text{ para todo }x,y\in \Omega \\ & K(t,x,y)=0,x\in \partial \Omega \text{ o }y\in \partial \Omega .\end{array}$

Aplicació de la teoria espectral

Definicions generals

si $\Omega$ un domini compacte de ${ℝ}^n$ a bordo $\partial \Omega$. En esta àrea, considerem que l'operador positiu $\hat{H}=-\Delta$ a on $\Delta$ és el Laplaciano, en condicions de frontera en la vora $\partial \Omega$ domini (Dirichlet, Neumann, mixt) que soluciona completament el problema.

L'operador positiu $\hat{H}=-\Delta$ és el generador d'un semigrupo continu en $L^2(\Omega )$. Llavors podem escriure per a qualsevol funció $f$ de quadrat sumable:

$e^{-t\hat{H}}f(x)=e^{+t\Delta }f(x)=\underset{\Omega }{\int }dyK(x,y,t)f(y)$

La funció $K(x,y,t)$ es diu kernel de calor. De fet, la funció:

$f(x,t)=e^{+t\Delta }f(x)$

és clarament una solució de l'equació de calor:

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\Delta f(x,t)$

Ademés, el semigrupo tendix a l'identitat quan el temps $t$ s'aproxima a zero:

$f(x,t)=e^{+t\Delta }f(x){\to }_{t\to 0^{+}}f(x)$

de modo que el núcleu de calor K deu tindre el comportament asintòtic:

$K(x,y,t){\to }_{t\to 0^{+}}\delta (x-y)$

a on $\delta (x)$ és la distribució de Dirac. Per lo tant, el núcleu de calor $K(x,y,t)$ sembla ser una funció de Green, o solució elemental, de l'equació de calor.

Teoria espectral

Quan el domini $\Omega$ és compacte, l'operador positiu $\hat{H}=-\Delta$ té un espectre discret de valors propis en el que s'associa una base de senyes de autovectores de Hilbert (ací s'usa la notació de Dirac):

$\hat{H}|{\psi }_n⟩={\lambda }_n|{\psi }_n⟩,0\le {\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n\le \dots \le +\mathrm{\infty }$

Llavors un pot escriure introduint dos voltes la relació de tancament:

$K(x,y,t)=⟨y|e^{-t\hat{H}}|x⟩=\sum _{n,m=1}^{+\mathrm{\infty }}⟨y|{\psi }_m⟩⟨{\psi }_m|e^{-t\hat{H}}|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|x⟩$

es convertix en:

$K(x,y,t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}⟨y|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|x⟩e^{-t{\lambda }_n}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\overline{{\psi }_n}(y){\psi }_n(x)e^{-t{\lambda }_n}$

Traça del kernel de calor

La traça del kernel de calor es definix per:

$\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{-t\hat{H}}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t{\lambda }_n}$

Els estats propis estan ortoromados, notem que podem escriure:

$\underset{\Omega }{\int }dxK(x,x,t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t{\lambda }_n}\underset{\Omega }{\int }dx|{\psi }_n(x){|}^2=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t{\lambda }_n}$

Llavors tenim la relació fonamental:

$\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{-t\hat{H}}=\underset{\Omega }{\int }dxK(x,x,t)$

Esta relació està relacionada en moltes «fòrmules traça» com la geometria hiperbòlica de Selberg o l'aproximació semiclásica de Gutzwiller.

Funcions espectrals

Definim la funció de conteo dels autovalores:

$𝒩(\lambda )=\mathrm{T}\mathrm{r}\theta (\hat{H}-\lambda )=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\theta ({\lambda }_n-\lambda )$

a on $\theta (x)$ és la distribució de Heaviside. La funció de reconte és una funció de pas positiva cada volta major que proporciona el número total de autovalores menors o iguals a $\lambda$. La seua derivada és la densitat espectral de valors propis:

$\rho (\lambda )=\mathrm{T}\mathrm{r}\delta (\hat{H}-\lambda )=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\delta ({\lambda }_n-\lambda )$

La traça del núcleu de calor està conectat a estes funcions per mig d'una transformació de Laplace:

$\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{-t\hat{H}}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t{\lambda }_n}=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\lambda }\rho (\lambda )d\lambda =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\lambda }d𝒩(\lambda )$

Funció zeta espectral

Suponem ací que el fonamental ${\lambda }_1\ne 0$. Per analogia en la funció zeta de Riemann, la funció zeta espectral és introduïda per la série de tipo Dirichlet :

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\lambda }_n^s}$

que convergix per a $\mathrm{\Re }\mathrm{e}\left[s\right]$ lo suficientment gran Esta funció zeta està conectada a la traça del núcleu de calor per mig d'una transformada de tipo Mellin:

$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}dt{t}^{s-1}\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{-t\hat{H}}$

En particular, la funció zeta s'utilisa per a regularisar els determinants dels operadors que apareixen durant els càlculs de les integrals de trayectòria en la teoria quàntica de camps. De fet, el determinant de l'operador $H$ es definix per:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\hat{H}=\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }_n$

En l'identitat:

$\ln \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\hat{H}=\ln \left(\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }_n\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\ln {\lambda }_n=\mathrm{T}\mathrm{r}\ln \hat{H}$

la relació formal es demostra fàcilment:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\hat{H}=\exp [-{\zeta }^{\prime }(0)]$

a on la derivada de la funció zeta s'evalua en s = 0.

Bibliografia

Obres de referències

• (2004).«Heat Kernels and Dirac Operators».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1984).«Eigenvalues in Riemannian geometry».Academic Press.Boston, MA:115.
• (1998).«Partial differential equations».American Mathematical Society.Providence, R.I.:
• (1994).«Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem».
• (2009).«Heat kernel and analysis on manifolds».American Mathematical Society.Providence, R.I.:47
• (2000).«Albanese maps and an off diagonal long clave asymptotic for the heat kernel».Comm. Math. Phys..209

633–670.doi:10.1007/s002200050033.

• Marcel Berger, Paul Gauduchon & Edmond Mazet; Li spectre d'unix variété Riemanienne, Lecture Notes in Mathematics 194, Springer-Verlag (1971).

Alguns artículs

• S Minakshisundaram & A Pleijel; Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds, Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256.
• H. P. McKean & I. M. Singer; Curvature and the eigenvalues of the Laplacian, Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
• Peter B. Gilkey; The spectral geometry of a Riemannian manifold, Journal of Differential Geometry 10(4) (1975), 601-618.

• Yves Colin de Verdière; Propriétés asymptotiques de l'équation de la chaleur sur unix variété compactar, d'après P. Gilkey, Séminaire Bourbaki (novembre 1973).
• Yves Colin de Verdière; Spectre du laplacien et longueurs dones géodésiques périodiques (I), Compositio Mathematica 27 (1) (1973), p.|83-106. Numdam.
• Yves Colin de Verdière; Spectre du laplacien et longueurs dones géodésiques périodiques (II), Compositio Mathematica, 27 (2) (1973), p.|159-184. Numdam.
• María Teresa Arede; Géométrie du noyau de la chaleur sur els variétés, Thèse de troisième cycle, Université de Marseille (1983).
• Teresa Arede; Manifolds for which the heat kernel is given in terms of geodesic lengths, Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
• Peter B Gilkey; Heat Equation Asymptotics, Proc. Symp. Pure and Applied Math. V54 (1993), 317-336.
• Klaus Kirsten; Spectral functions in mathematics and physics, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL (2002), ISBN 1-58488-259-X.
• Peter B. Gilkey; Asymptotic formulae in spectral geometry, Studies in Advanced Mathematics, vol. 43, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL (2004), ISBN 1-58488-358-8

Enllaces web

• Claude Barts & Olivier Laffite; Unix synthèse de résultats anciens et récents sur li comportement asymptotique dones valeurs propres du Laplacien sur unix variété riemannienne, (1998). PostScript.
• M. van donen Berg, S. Desjardins & P B Gilkey; Heat content asymptotics of Riemannian manifolds, dans : Differential Geometry and its Applications, O. Kowalski & D. Krupka (éditeurs), proceedings of 5th international conference 1992 on differential geometry and its applications at Silesian University (1993), ISBN 80-901581-0-2, p. 61-64. PostScript.
• D. V. Vassilevich; Heat kernel expansion: user's manual, Physics Report 388 (2003), 279-360. ArXiv : hep-th/0306138.
• Arlo Caine; The heat kernel on a Riemannian manifold, pdf.
• Daniel Grieser; Notes on the heat kernel on manifolds with boundary, pdf
• Archivat el 24 de agost de 2007 archivat en Wayback Machine..