Punt periòdic

Eixemple en R^2 sent n=4

En matemàtiques, en l'estudi de les funcions iteradas i sistemes dinàmics, un punt periòdic d'una funció és el punt al com el sistema retorna després d'un cert número de iteraciones de la funció a la veta d'un cert temps.

Funcions iteradas

Donat un endomorfisme f en un conjunt X

$f:X\to X$

un punt x en X és cridat punt periòdic si existix un n tal que

$f_n(x)=x$

a on $f_n$ és la n-ésima iteración de f. El sancer n més chicotet que satisfà l'expressió anterior és cridat periodo principal o periodo mínim del punt x. Si un punt en X és un punt periòdic en el mateix periodo n, llavors f és cridada funció periòdica en periodo n.

Si existixen n i m distints tal que

$f_n(x)=f_m(x)$

llavors x és cridat punt preperiódico. Tots els punts periòdics són preperiódicos.

Si f és un difeomorfismo d'una varietat diferenciable per a que la derivada $f_n^{\prime }$ estiga definida, llavors es diu que un punt periòdic és hiperbòlic si

$|f_n^{\prime }|\ne 1,$

que és atractiu si

$|f_n^{\prime }|<1,$

i que és repulsivo si

$|f_n^{\prime }|>1.$

Si la dimensió de la varietat estable d'un punt periòdic o punt fix és zero, el punt és anomenat font; si la dimensió de la seua varietat inestable és zero, és cridat sumidero; i si abdós varietats estable i inestable té dimensió distinta de zero, és cridat cadira o punt de cadira.

Eixemples

Un punt fix és un punt periòdic. A period-one point is called a fixed point.

El mapa llogístic

$x_{t+1}=r{x}_t(1-x_t),0\le x_t\le 1,0\le r\le 4$

exhibix periodicitat per a varis valors del paràmetro r. Per a r entre 0 i 1, és un únic punt periòdic en periodo 1 (donada la seqüència 0, 0, 0, ..., la qual atrau totes les òrbites). Per a r entre 1 i 3, el valor 0 seguix sent periòdic pero no és atractiu, mentres que el valor (r-1)/r és un punt periòdic de periodo 1. En r major que 3 pero menor que 1 + Plantilla:Raïl, hi ha un parell de punts periòdics en periodo 2 que junts formen una seqüència atractiva, com també els punts atractius de periodo 1: 0 i (r-1)/r. A mida que el paràmetro r s'acosta a 4, apareixen grups de punts periòdics en qualsevol número entero com a periodo; per a alguns valors de r una d'estes seqüències repetitives és atractiva mentres que per a unes atres no ho és (en casi totes les òrbites sent caòtiques).

Sistema dinàmic

Dau un sistema dinàmic real (R, X, Φ) en X l'espai de fases i Φ la funció evolució,

$\Phi :ℝ\times X\to X$

un punt x en X és cridat periòdic en periodo t si existix un t > 0 tal que

$\Phi (t,x)=x$

El menor t positiu en esta propietat és cridat periodo principal del punt x.

Propietats

• Donat un punt periòdic x en periodo p, llavors $\Phi (t,x)=\Phi (t+p,x)$ per a tot t en R.
• Donat un punt periòdic x llavors tots els punts en l'òrbita ${\gamma }_x$ que passen per x són periòdics en el mateix periodo principal