Pendent (matemàtica)

En matemàtiques i ciències aplicades es denomina pendent a l'inclinament d'un element llineal, natural o constructiu respecte de l'horisontal (de 0° o 180°).

En geometria analítica, pot referir-se a la pendent de l'equació d'una recta (o coeficient angular)^[1] com a cas particular de la tangente a una curva, en el cas de la qual representa la derivada de la funció en el punt considerat, i és un paràmetro rellevant, per eixemple, en el traçat altimétrico de carreteras, vies férrees o canals.

Àngul d'inclinament

L'àngul α, definit tal com apareix en la figura, es diu àngul d'inclinament de la recta respecte a l'eix OX. La tangente (trigonométrica) de l'àngul d'inclinament $α$ es diu coeficient angular de la recta i es designa usualment en la lletra $k$ i llavors

$m = \tan (α)$

En realitat, el coeficient angular i la pendent tenen el mateix significat geomètric. En l'equació $y = k x + b$ que involucra el coeficient angular i l'ordenada en l'orige: k és el coeficient angular i b l'ordenada en l'orige.^[2]

Pendent d'una recta

Archiu:Wiki slope in 2d.svg

Pendent:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \tan (θ)

La pendent (m) d'una recta representa el creiximent o afluixó d'una recta, quan la pendent és positiva, en el pla cartesiano esta va de el III quadrant a l'I Primer quadrant, quan la pendent és negativa esta va de el II quadrant a el IV quadrant, quan la pendent és zero (0) la recta és una llínea paralela a l'eix X i perpendicular a l'eix I, que passa pel punt indicat, en este cas seria i = 2, la recta pansa pel punt 2 lo que vol dir que per a qualsevol valor de x sempre serà dos, el seu domini és tots els número real i el seu ranc 2, ara quan i = 0 la variable X pren qualsevol valor en este cas la pendent és infinita,és dir,és paralela a l'eix i i perpendicular a l'eix x, com en el cas de x = 3.

La pendent d'una recta en un sistema de representació rectangular (d'un pla cartesiano), sol estar representada per la lletra $m$ , i està definida com la diferència en l'eix I dividit per la diferència en l'eix X per a dos punts distints en una recta. En la següent equació es descriu:

$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Geometria

Donat un sistema d'eixos cartesianos x i, una recta horisontal paralela o congruent en l'eix x té pendent igual a 0 (zero), i la seua representació es definix per la coordenada per a on esta travessa l'eix i. En aquells casos a on la recta es troba formant un àngul distint de zero, quant menor siga el valor de la pendent, menor àngul tindrà la recta sobre l'eix x; per eixemple, una recta inclinada (que s'eleve) un àngul de 45° sobre l'eix x tindrà una pendent positiva $m = + 1$ , i una recta declinada (que caiga) 30° tindrà una pendent negativa $m = - 0, 5$ . La pendent d'una recta vertical no està definida, i la seua representació s'indica per la coordenada a on esta travessa a l'eix x.

L'àngul $θ$ que una recta forma en l'eix horisontal està relacionat en la pendent $m$ per mig de la següent relació trigonométrica:

$m = \tan θ$

o equivalentemente:

$θ = \arctan m$

Dos o més rectes són paraleles si abdós posseïxen la mateixa pendent, o si abdós són verticals i per això no tenen pendent definida; dos o més rectes són perpendiculars (formen un àngul recte entre elles) si el producte de les seues pendents és igual a -1.

La pendent en les equacions de la recta

Archiu:Linear functions2. caps block 5

Tres llínees rectes — Les llínees roja i blava posseïxen la mateixa pendent (m) que en este eixemple és ½, mentres que les llínees roja i vert intercepten a l'eix i en el mateix punt, per lo que posseïxen idèntic valor d'ordenada a l'orige (b) que en este eixemple és el punt x=0, i=1.

Si i és una funció llineal de x, llavors el coeficient de x és la pendent de la recta. Per lo tant, si l'equació està donada de les següents maneres:

$y = m x + b$

llavors m és la pendent. En esta equació, el valor de $b$ pot ser interpretat com el punt a on la recta es interseca en l'eix I, és dir, el valor de $y$ quan $x = 0$ . Este valor també és cridat ordenada en l'orige.

$y = m (x - a)$

llavors "m" seguix sent la pendent. Pero en esta equació, el valor $a$ pot ser interpretat com el punt a on la recta es interseca en l'eix X, és dir, el valor de $x$ quan $y = 0$ . Este valor també és cridat abscissa en l'orige.

Si la pendent $m$ d'una recta i el punt $(x_{0}, y_{0})$ de la recta són coneguts, llavors l'equació de la recta pot ser trobada usant:

$y - y_{0} = m (x - x_{0})$

La pendent de la recta en la fòrmula general:

$A x + B y + C = 0$

està donada per:

$m = - \frac{A}{B}$

Propietats

Tenint com a senyes els coeficients angulars de dos rectes $k_{1}, k_{2}$ , un dels ànguls μ formats per estes dos rectes es determina per la fòrmula

$t a n (μ) = \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}}$

La pauta de paralelisme de dos rectes és l'igualtat dels seus coeficients angulars

$k_{1} = k_{2}$ .

La pauta de perpendicularidad de dos rectes es determina per les relacions:

$k_{1} k_{2} = - 1$ o $k_{2} = - \frac{1}{k_{1}}$ ^[3]

Si en l'equació $y = k x + b$ es manté constant k, només varia b, es té una família de rectes paraleles en coeficient angular constant k, que cobrix tot el pla, en recórrer b tot el conjunt ℝ.

Vore també

Referències

↑ Kletenik. Geometria analítica. Editorial Mir, Moscou.
↑ D. Kleténik. Problemes de geometria analítica. Editorial Mir, Moscou (1968)
↑ Kleténik. Op. cit.

Slope en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Pendiente (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kletenik. Geometria analítica. Editorial Mir, Moscou.

[2] D. Kleténik. Problemes de geometria analítica. Editorial Mir, Moscou (1968)

[3] Kleténik. Op. cit.

[1]

[2]

[3]