Coordenades elipsoidales

Les coordenades elipsoidales són un sistema de referència tridimensional ortogonal, que generalisa el sistema de coordenades elíptiques bidimensional. A diferència de la majoria dels sistemes de coordenades tridimensionals ortogonals que ampren funcions quadràtiques, el sistema de coordenades elipsoidales es basa en seccions còniques confocales.

Superfícies coordenades del sistema de coordenades elipsoidal (η,θ,λ) en a=60 i b=40. l'elipsoide blau correspon a η=70, l'hiperboloide roig d'un full correspon a θ=50 i l'hiperboloide groc de dos fulls correspon a λ=30

Fòrmules bàsiques

Erro al crear miniatura:

Sistema de coordenades elipsoidal triaxial

Les coordenades cartesianas $(x,y,z)$ es poden obtindre a partir de les coordenades elipsoidales $(\lambda ,\mu ,\nu )$ per mig de les equacions

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}$

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}$

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$

a on s'apliquen els següents llímits a les coordenades

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2.$

En conseqüència, les superfícies de $\lambda$ constant són elipsoides

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1,$

mentres que les superfícies de $\mu$ constant són hiperboloides d'un full

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1,$

perque l'últim terme en la part esquerra de l'equació és negatiu, i les superfícies de $\nu$ constant són hiperboloides de dos fulls

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1$

perque els dos últims térmens en la part esquerra de l'equació són negatius.

El sistema ortogonal de cuádriques utilisat per a les coordenades elipsoidales és confocal.

Per a que açò siga possible, es deu complir que

$0\le {\lambda }^2<b^2<{\theta }^2<a^2<{\eta }^2$

Els quadrats de les coordenades es poden determinar a partir de les tres equacions anteriors:

$x^2=\frac{({\eta }^2-a^2)({\theta }^2-a^2)({\lambda }^2-a^2)}{a^2(a^2-b^2)},y^2=\frac{({\eta }^2-b^2)({\theta }^2-b^2)({\lambda }^2-b^2)}{b^2(b^2-a^2)},z^2={\left(\frac{\eta \theta \lambda }{ab}\right)}^2$

Les coordenades es poden representar en les tres funcions jacobianas bàsiques $\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k),\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime }),\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)$, sen–, coseno– o delta ampliada en el mòdul elíptic $k=b/a$ i el paràmetro complementari $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}=:d/a,d:=\sqrt{a^2-b^2}$ en funció de tres paràmetros α, β i γ:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}{k}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ k^{\prime }\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{c}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ \mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\eta \\ \theta \\ \lambda \end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\\ \mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\\ k\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right)$

En esta representació deu recordar-se que θ≥0 i que $z=\frac{\eta \theta \lambda }{ab}$.

Factors mètrics, trayectòria i elements d'àrea i volum

Els vectores d'una base covariant de la forma $\overrightarrow{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{\top }}$ s'expressen com

${\overrightarrow{g}}_{\eta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }=\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\theta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\lambda }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \lambda }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)$

que com és llògic són perpendiculars entre sí, i en este orde formen un sistema ortogonal. Els factors mètrics són les dimensions dels vectores de base covariants:

$h_{\eta }=\sqrt{\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}},h_{\theta }=\sqrt{\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}},h_{\lambda }=\sqrt{\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}}$

En conseqüència, el sistema de coordenades elipsoidal ortogonal és

$\begin{array}{cc}{\hat{c}}_{\eta }:=& \sqrt{\frac{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\theta }:=& \sqrt{\frac{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\lambda }:=& \sqrt{\frac{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)\end{array}$

Els elements d'arc, àrea i volum donen com a resultat:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\overrightarrow{r}=& {\overrightarrow{g}}_{\eta }\mathrm{d}\eta +{\overrightarrow{g}}_{\theta }\mathrm{d}\theta +{\overrightarrow{g}}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \\ \mathrm{d}{s}^2:=& |\mathrm{d}\overrightarrow{r}{|}^2=\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\eta }^2+\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\theta }^2+\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}\mathrm{d}{\lambda }^2\\ \mathrm{d}A:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{\hat{c}}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta +h_{\theta }{h}_{\lambda }{\hat{c}}_{\eta }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda +h_{\lambda }{h}_{\eta }{\hat{c}}_{\theta }\mathrm{d}\lambda \mathrm{d}\eta \\ \mathrm{d}V:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{h}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda \end{array}$