Coordenades elipsoidales

Archiu:A060b040eta070tet050lam030.png

Superfícies coordenades del sistema de coordenades elipsoidal (η,θ,λ) en a=60 i b=40. l'elipsoide blau correspon a η=70, el hiperboloide roig d'un full correspon a θ=50 i l'hiperboloide groc de dos fulls correspon a λ=30

Les coordenades elipsoidales són un sistema de referència tridimensional ortogonal, que generalisa el sistema de coordenades elíptiques bidimensional. A diferència de la majoria dels sistemes de coordenades tridimensionals ortogonals que ampren funcions quadràtiques, el sistema de coordenades elipsoidales es basa en seccions còniques confocales.

Fòrmules bàsiques

Archiu:Triaxial ellipsoid coordinate system.svg

Sistema de coordenades elipsoidal triaxial

Les coordenades cartesianas $(x,y,z)$ es poden obtindre a partir de les coordenades elipsoidales $(\lambda ,\mu ,\nu )$ per mig de les equacions

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}$

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}$

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$

a on s'apliquen els següents llímits a les coordenades

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2.$

En conseqüència, les superfícies de $\lambda$ constant són elipsoides

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1,$

mentres que les superfícies de $\mu$ constant són hiperboloides d'un full

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1,$

perque l'últim terme en la part esquerra de l'equació és negatiu, i les superfícies de $\nu$ constant són hiperboloides de dos fulls

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1$

perque els dos últims térmens en la part esquerra de l'equació són negatius.

El sistema ortogonal de cuádricas utilisat per a les coordenades elipsoidales és confocal.

Per a que açò siga possible, es deu complir que

$0\le {\lambda }^2<b^2<{\theta }^2<a^2<{\eta }^2$

Els quadrats de les coordenades es poden determinar a partir de les tres equacions anteriors:

$x^2=\frac{({\eta }^2-a^2)({\theta }^2-a^2)({\lambda }^2-a^2)}{a^2(a^2-b^2)},y^2=\frac{({\eta }^2-b^2)({\theta }^2-b^2)({\lambda }^2-b^2)}{b^2(b^2-a^2)},z^2={\left(\frac{\eta \theta \lambda }{ab}\right)}^2$

Les coordenades es poden representar en les tres funcions jacobianas bàsiques $\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k),\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime }),\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)$, sen–, coseno– o delta ampliada en el mòdul elíptic $k=b/a$ i el paràmetro complementari $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}=:d/a,d:=\sqrt{a^2-b^2}$ en funció de tres paràmetros α, β i γ:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}{k}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ k^{\prime }\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{c}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ \mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\eta \\ \theta \\ \lambda \end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\\ \mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\\ k\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right)$

En esta representació deu recordar-se que θ≥0 i que $z=\frac{\eta \theta \lambda }{ab}$.

Factors mètrics, trayectòria i elements d'àrea i volum

Els vectores d'una base covariant de la forma $\overrightarrow{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{\top }}$ s'expressen com

${\overrightarrow{g}}_{\eta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }=\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\theta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\lambda }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \lambda }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)$

que com és llògic són perpendiculars entre sí, i en este orde formen un sistema ortogonal. Els factors mètrics són les dimensions dels vectores de base covariants:

$h_{\eta }=\sqrt{\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}},h_{\theta }=\sqrt{\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}},h_{\lambda }=\sqrt{\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}}$

En conseqüència, el sistema de coordenades elipsoidal ortogonal és

$\begin{array}{cc}{\hat{c}}_{\eta }:=& \sqrt{\frac{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\theta }:=& \sqrt{\frac{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\lambda }:=& \sqrt{\frac{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)\end{array}$

Els elements d'arc, àrea i volum donen com a resultat:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\overrightarrow{r}=& {\overrightarrow{g}}_{\eta }\mathrm{d}\eta +{\overrightarrow{g}}_{\theta }\mathrm{d}\theta +{\overrightarrow{g}}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \\ \mathrm{d}{s}^2:=& |\mathrm{d}\overrightarrow{r}{|}^2=\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\eta }^2+\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\theta }^2+\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}\mathrm{d}{\lambda }^2\\ \mathrm{d}A:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{\hat{c}}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta +h_{\theta }{h}_{\lambda }{\hat{c}}_{\eta }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda +h_{\lambda }{h}_{\eta }{\hat{c}}_{\theta }\mathrm{d}\lambda \mathrm{d}\eta \\ \mathrm{d}V:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{h}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda \end{array}$