Forma de conexió

En matemàtiques, i específicament en geometria diferencial, una forma de conexió és una manera d'organisar les senyes d'una conexió utilisant el llenguage dels sistemes de referència mòvils i de les formes diferencials.

Històricament, les formes de conexió varen ser introduïdes per Élie Cartan (1869-1951) en la primera mitat de el XX com a part i una de les principals motivacions del seu método de sistemes de referència mòvils. La forma de conexió generalment depén de l'elecció d'un sistemes de referència coordenados i, per lo tant, no és un objecte tensorial. Despuix del treball inicial de Cartan es varen formular vàries generalisacions i reinterpretación de la forma de conexió. En particular, en un fibrado principal, una conexió principal és una reinterpretación natural de la forma de conexió com un objecte tensorial. Per un atre costat, la forma de conexió té la ventaja de que és una forma diferencial definida en alguna varietat diferenciable, en lloc d'un fes principal abstracte sobre dita varietat. Per lo tant, a pesar de la seua falta de tensorialidad, les formes de conexió seguixen utilisant-se per la relativa facilitat per a realisar càlculs en elles. En física, les formes de conexió també s'utilisen àmpliament en el context de la teoria de camp de gauge, a través de la derivada covariant gauge.

Una forma de conexió associa a cada base d'un fibrado vectorial una matriu de formes diferencials. La forma de conexió no és tensorial perque baixe un canvi de base, la forma de conexió es transforma d'una manera que involucra a la derivada exterior de funcions de transició, de manera molt similar a com ho fan els símbols de Christoffel per a la conexió de Levi-Civita. El principal invariante tensorial d'una forma de conexió és la seua forma de curvatura. En presència d'una forma de soldadura que identifica el fes de vectores en el fibrado tangente, hi ha un invariante adicional: la forma de torsió. En molts casos, les formes de conexió es consideren fas de vectores en estructura adicional: la d'un fibrado en una estructura de grup.

Fas de vectores

Vore també: Conexió (fes vectorial)

Sistemes de referència en un fes de vectores

Artícul principal → Fes de sistemes de referència.

Siga I un fibrado vectorial de dimensió de fibra k sobre una varietat diferenciable M. Un sistema de referència local para I és una base ordenada de seccions locals de I. Sempre és possible construir un sistema de referència local, ya que els fas de vectores sempre es definixen en térmens de fibrado, en analogia en l'atles d'una varietat. És dir, donat qualsevol punt x en la varietat base M, existix un veïnat obert O ⊂ M de x per a la qual el fes de vectores sobre O és isomorfo a l'espai O × R^k: esta és la trivialización local. D'esta manera, l'estructura del espai vectorial en R^k es pot estendre a tota la trivialización local, i també es pot estendre una base en R^k; lo que permet definir el sistema de referència local (ací, R fa referència als número real $ℝ$, encara que gran part del present desenroll es pot estendre a mòduls sobre anells en general, i a espais vectorials sobre els número complejo $ℂ$ en particular).

Siga i = (i_α)_α=1,2,...,k un sistema de referència local en I. Este sistema de referència es pot utilisar per a expressar localment qualsevol secció de I. Per eixemple, suponga's que ξ és una secció local, definida sobre el mateix conjunt obert que el sistema de referència i. Llavors

$\xi =\sum _{\alpha =1}^k{e}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }(𝐞)$

a on ξ^α(i) denota les components de ξ en el sistema de referència i. Com a equació matricial, açò es llig

$\xi =𝐞\left[\begin{array}{c}{\xi }^1(𝐞)\\ {\xi }^2(𝐞)\\ ⋮\\ {\xi }^k(𝐞)\end{array}\right]=𝐞\xi (𝐞)$

En la relativitat general, dits camps de sistemes de referència es denominen tétradas. La tétrada relaciona específicament el sistema de referència local en un sistema de coordenades explícit en la varietat base M (el sistema de coordenades en M està establit per l'atles).

Conexions exteriors

Artícul principal → Derivada covariant exterior.

Una conexió en I és un tipo d'operador diferencial

$D:\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes {\Omega }^{1}M)$

a on Γ denota els fas de les seccions locals d'un fes de vectores, i Ω¹M és el fes d'1-formes diferencials en M. Per a que D siga una conexió, deu estar correctament acoplada a la derivada exterior. Específicament, si v és una secció local de I i f és una funció suau, llavors

$D(fv)=v\otimes (df)+fDv$

a on df és la derivada exterior de f.

A voltes és convenient estendre la definició de D a formes en valors en I arbitraris, considerant-ho aixina com un operador diferencial en el producte tensorial de I en el producte exterior complet de formes diferencials. Donada una conexió exterior D que satisfà esta propietat de compatibilitat, existix una extensió única de D:

$D:\Gamma (E\otimes {\Omega }^{*}M)\to \Gamma (E\otimes {\Omega }^{*}M)$

tal que

$D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1{)}^{\text{deg}v}v\wedge d\alpha$

a on v és homogénea de grau v. En atres paraules, D és una derivació en el fes de mòduls graduats Γ(I ⊗ Ω^*M).

Formes de conexió

Les formes de conexió sorgixen en aplicar la conexió exterior a un sistema de referència particular i. En aplicar la conexió exterior a i_α, és l'única matriu k × k (ω_α^β) de 1-formas en M tal que

$D{e}_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^k{e}_{\beta }\otimes {\omega }_{\alpha }^{\beta }.$

En térmens de la forma de conexió, ara es pot expressar la conexió exterior de qualsevol secció de I. Per eixemple, suponga's que ξ = Σ_α i_αξ^α. Llavors

$D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }{\xi }^{\alpha }(𝐞))=\sum _{\alpha =1}^k{e}_{\alpha }\otimes d{\xi }^{\alpha }(𝐞)+\sum _{\alpha =1}^k\sum _{\beta =1}^k{e}_{\beta }\otimes {\omega }_{\alpha }^{\beta }{\xi }^{\alpha }(𝐞).$

Prenent components en abdós costats,

$D\xi (𝐞)=d\xi (𝐞)+\omega \xi (𝐞)=(d+\omega )\xi (𝐞)$

a on s'entén que d i ω es referixen a la derivada component sobre el sistema de referència i, i una matriu d'1-formes, respectivament, que actua sobre els components de ξ. Pel contrari, una matriu d'1-formes ω és a priori suficient per a determinar completament la conexió localment en el conjunt obert sobre el qual es definix la base de les seccions i.

Canvi de sistema de referència

Per a estendre ω a un objecte global adequat, és necessari examinar cóm es comporta quan es realisa una elecció diferent de seccions bàsiques de I. S'escriu ω_α^β = ω_α^β(i) per a indicar la dependència de l'elecció de i.

Suponga's que i′ és una elecció diferent de base local. Llavors, existix una matriu invertible k × k de funcions g tal que

$𝐞\text{'}=𝐞g,\text{i.e., }e{\text{'}}_{\alpha }=\sum _{\beta }{e}_{\beta }{g}_{\alpha }^{\beta }.$

Aplicant la conexió exterior a abdós costats de l'equació s'obté la llei de transformació para ω:

$\omega (𝐞g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (𝐞)g.$

Tinga's en conte en particular que ω no es transforma de manera tensorial, ya que la regla per a passar d'un sistema de referència a un atre implica les derivades de la matriu de transició g.

Forma de conexió global

Si {O_p} és un recobriment obert de M, i cada O_p està equipada en una trivialización i_p de I, llavors és possible definir una forma de conexió global en térmens de les senyes de parcheo entre les formes de conexió local en les regions superpostes. En detalle, una forma de conexió en M és un sistema de matrius ω(i_p) d'1-formes definides en cada O _p que satisfan la següent condició de compatibilitat

$\omega ({𝐞}_q)=({𝐞}_p^{-1}{𝐞}_q{)}^{-1}d({𝐞}_p^{-1}{𝐞}_q)+({𝐞}_p^{-1}{𝐞}_q{)}^{-1}\omega ({𝐞}_p)({𝐞}_p^{-1}{𝐞}_q).$

Esta condició de compatibilitat garantisa en particular que la conexió exterior d'una secció de I, quan es considera abstractamente com una secció de I ⊗ Ω¹M, no depén de l'elecció de la secció base utilisada per a definir la conexió.

Curvatura

Artícul principal → Forma de curvatura.

La curvatura d'una 2-forma d'una forma de conexió en I està definida per

$\Omega (𝐞)=d\omega (𝐞)+\omega (𝐞)\wedge \omega (𝐞).$

A diferència de la forma de conexió, la curvatura es comporta tensorialment davant un canvi de sistema de referència, lo que es pot comprovar directament utilisant el lema de Poincaré. Específicament, si i → ig és un canvi de sistema de referència, llavors la curvatura de dos formes es transforma per

$\Omega (𝐞g)=g^{-1}\Omega (𝐞)g.$

Una interpretació d'esta llei de transformació és la següent. Siga 'i^* la base dual corresponent al sistema de referència i. Llavors, la 2-forma

$\Omega =𝐞\Omega (𝐞){𝐞}^{*}$

és independent de l'elecció del sistema de referència. En particular, Ω és una 2-forma de valors vectorials en M en valors en l'anell d'endomorfisme Hom(I,I). Simbòlicament,

$\Omega \in \Gamma ({\Omega }^{2}M\otimes \text{Hom}(E,E)).$

En térmens de la conexió exterior D, l'endomorfisme de curvatura ve dau per

$\Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v$

per a v ∈ I. Aixina, la curvatura medix el desajust de la série

$\Gamma (E)\stackrel{D}{\to }\Gamma (E\otimes {\Omega }^{1}M)\stackrel{D}{\to }\Gamma (E\otimes {\Omega }^{2}M)\stackrel{D}{\to }\dots \stackrel{D}{\to }\Gamma (E\otimes {\Omega }^n(M))$

per a ser un complex de cadenes (en el sentit de la cohomología de De Rham).

Soldadura i torsió

Suponga's que la dimensió de la fibra k de I és igual a la dimensió de la varietat M. En este cas, el fes de vectores I a voltes està equipat en una senya adicional ademés de la seua conexió: una forma de soldadura. Una forma de soldadura és una 1-forma en valors vectorials θ ∈ Ω¹(M,I) definida globalment tal que l'aplicació

${\theta }_x:T_{x}M\to E_x$

és un isomorfisme llineal per a tot x ∈ M. Si es proporciona una forma de soldadura, llavors és possible definir la torsió de la conexió (en térmens de la conexió exterior) com

$\Theta =D\theta .$

La torsió Θ és una 2-forma en valor I en M.

Una forma de soldadura i la torsió associada poden descriure's en térmens d'un sistema de referència local i de I. Si θ és una forma de soldadura, llavors es descompon en les components del sistema de referència

$\theta =\sum _i{\theta }^i(𝐞)e_i.$

Les components de la torsió són llavors

${\Theta }^i(𝐞)=d{\theta }^i(𝐞)+\sum _j{\omega }_j^i(𝐞)\wedge {\theta }^j(𝐞).$

De la mateixa manera que la curvatura, es pot demostrar que Θ es comporta com un tensor contravariante davant un canvi de sistema de referència:

${\Theta }^i(𝐞g)=\sum _j{g}_j^i{\Theta }^j(𝐞).$

La torsió independent del sistema de referència també es pot recuperar dels components del sistema de referència:

$\Theta =\sum _i{e}_i{\Theta }^i(𝐞).$

Identitats de Bianchi

Les formes de curvatura relacionen la torsió en la curvatura. La primera identitat de Bianchi establix que

$D\Theta =\Omega \wedge \theta$

mentres que la segona identitat de Bianchi establix que

$D\Omega =0.$

Eixemple: la conexió Levi-Civita

Com a eixemple, suponga's que M du associada una varietat de Riemann. Si es té un fibrado vectorial I sobre M, llavors la mètrica es pot estendre a tot el fes de vectores, com una mètrica de fes. Llavors, es pot definir una conexió que siga compatible en esta mètrica de fes, esta és una conexió mètrica. Per al cas especial de que I siga un fibrado tangente TM, la conexió mètrica es denomina conexió riemanniana. Donada una conexió riemanniana, sempre es pot trobar una conexió única equivalent que siga lliure de torsió. Esta és la conexió de Levi-Civita en el fes tangente TM de M.

Un sistema de referència local en el fes tangente és una llista ordenada de camps vectorials i= (i_i | i= 1, 2, ..., n), a on n= dim M, definits en un subconjunt obert de M que són linealment independents en cada punt del seu domini. Els símbols de Christoffel definixen la conexió de Levi-Civita per

${\mathrm{\nabla }}_{e_i}{e}_j=\sum _{k=1}^n{\Gamma }_{ij}^k(𝐞)e_k.$

Si θ = Plantilla:Mset, denota la base dual del fibrado cotangente, de modo que θⁱ(i_j) = δⁱ_j (la delta de Kronecker), llavors la forma de conexió és

${\omega }_i^j(𝐞)=\sum _k{\Gamma }^j{}_{ki}(𝐞){\theta }^k.$

En térmens de la forma de conexió, la conexió exterior en un camp vectorial v= Σ_ii_ivⁱ ve donada per

$Dv=\sum _k{e}_k\otimes (d{v}^k)+\sum _{j,k}{e}_k\otimes {\omega }_j^k(𝐞)v^j.$

Es pot recuperar la conexió de Levi-Civita, en el sentit habitual, contraent en i_i:

${\mathrm{\nabla }}_{e_i}v=⟨Dv,e_i⟩=\sum _k{e}_k({\mathrm{\nabla }}_{e_i}{v}^k+\sum _j{\Gamma }_{ij}^k(𝐞)v^j)$

Curvatura

La 2-forma de curvatura de la conexió de Levi-Civita és la matriu (Ω_i^j) donada per

${\Omega }_i{}^j(𝐞)=d{\omega }_i{}^j(𝐞)+\sum _k{\omega }_k{}^j(𝐞)\wedge {\omega }_i{}^k(𝐞).$

Per a simplificar, suponga's que el sistema de referència i és holonómica, per lo que dθⁱ= 0. Llavors, amprant ara el conveni de suma d'Einstein en índexs repetits,

$\begin{array}{cc}{\Omega }_i{}^j& =d({\Gamma }^j{}_{qi}{\theta }^q)+({\Gamma }^j{}_{pk}{\theta }^p)\wedge ({\Gamma }^k{}_{qi}{\theta }^q)\\ & \\ & ={\theta }^p\wedge {\theta }^q({\partial }_p{\Gamma }^j{}_{qi}+{\Gamma }^j{}_{pk}{\Gamma }^k{}_{qi}))\\ & \\ & =\frac{1}{2}{\theta }^p\wedge {\theta }^q{R}_{pqi}{}^j\end{array}$

a on R és el tensor de curvatura.

Torsió

La conexió de Levi-Civita es caracterisa per ser l'única conexió mètrica en el fes tangente en torsió zero. Per a descriure la torsió, observe's que el fes de vectores I és el fes tangente. Açò comporta una forma de soldadura canònica (a voltes cridada 1-forma canònica, especialment en el context de la mecànica clàssica) que és la secció θ de Hom(TM, TM)= T^∗M ⊗ TM corresponent a l'endomorfisme d'identitat dels espais tangentes. En el sistema de referència i, la forma de soldadura és {{{1}}}, a on novament θⁱ és la base dual.

La torsió de la conexió ve donada per Θ= Dθ, o en térmens de les components del sistema de referència de la forma de soldadura per

${\Theta }^i(𝐞)=d{\theta }^i+\sum _j{\omega }_j^i(𝐞)\wedge {\theta }^j.$

Assumint novament per simplicitat que i és holonómica, esta expressió es reduïx a

${\Theta }^i={\Gamma }^i{}_{kj}{\theta }^k\wedge {\theta }^j$,

que desapareix si i solament si Γⁱ_kj és simètric en els seus índexs inferiors.

Donada una conexió mètrica en torsió, sempre es pot trobar una conexió única i exclusiva que estiga lliure de torsió, la conexió de Levi-Civita. La diferència entre una conexió riemanniana i la seua conexió de Levi-Civita associada és el tensor de contorsión.

Grups d'estructura

Es pot construir un tipo més específic de forma de conexió quan el fes de vectores I du associada una estructura de grup. Açò equival a una classe preferent de sistemes de referència i en I, que estan relacionats per un grup de Lie G. Per eixemple, en presència d'una mètrica en I, es treballa en sistemes de referència que formen una base ortonormal en cada punt. El grup d'estructura és llavors el grup ortogonal, ya que este grup preserva la ortonormalidad dels sistemes de referència. Atres eixemples inclouen:

• Els sistemes de referència habituals, considerats en l'apartat anterior, tenen grup estructural GL(k) a on k és la dimensió de la fibra de I.
• El fes tangente holomórfico d'una varietat complexa (o varietat casi complexa). Ací el grup d'estructura és GL_n(C) ⊂ GL_2n(R). En cas que es proporcione una mètrica hermitiana, llavors el grup d'estructures es reduïx al grup unitari que actua sobre sistemes de referència unitaris.
• Espinor en una varietat equipada en estructura espinorial. Els sistemes de referència són unitaris sobre un producte intern invariante en l'espai espinorial, i el grup es reduïx al grup espinorial.
• Fas tangentes holomórficos en una varietat CR.

En general, siga I un conjunt de vectores donat de dimensió de fibra k i G ⊂ GL(k) un subgrup de Lie dau del grup llineal general de R^k. Si (i_α) és un sistema de referència local de I, llavors una funció matricial (g_i^j): M → G pot actuar sobre el i_α per a produir un nou sistema de referència

${e_{\alpha }}^{\prime }=\sum _{\beta }{e}_{\beta }{g}_{\alpha }^{\beta }.$

Dos d'estos sistemes de referència estan relacionats en G. Informalment, el fes de vectores I té la estructura d'un fes G si s'especifica una classe preferent de sistemes de referència, tots els quals estan relacionades localment en G entre sí. En térmens formals, I és un fibrado en grup estructural G la fibra típica de la qual és R^k en l'acció natural de G com a subgrup de GL(k).

Conexions compatibles

Una conexió és compatible en l'estructura d'un fes G en I sempre que les aplicacions de transport paralel associades sempre envien un sistema de referència G a un atre. Formalment, en una curva γ, deu complir-se localment la condició següent (és dir, per a valors suficientment menuts de t):

$\Gamma (\gamma {)}_0^t{e}_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }{e}_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)$

per a alguna matriu g_α^β (que també pot dependre de t). La diferenciació en t=0 dona

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(0)}{e}_{\alpha }=\sum _{\beta }{e}_{\beta }{\omega }_{\alpha }^{\beta }(\dot{\gamma }(0))$

a on els coeficients ω_α^β estan en l'àlgebra de Lie g del grup de Lie G.

En esta observació, la forma de conexió ω_α^β definida per

$D{e}_{\alpha }=\sum _{\beta }{e}_{\beta }\otimes {\omega }_{\alpha }^{\beta }(𝐞)$

és compatible en l'estructura si la matriu de formes uniformes ω_α^β(i) pren els seus valors en g.

La forma de curvatura d'una conexió compatible és, ademés, una 2-forma en valor g.

Canvi de sistema de referència

Baixe un canvi de sistema de referència

${e_{\alpha }}^{\prime }=\sum _{\beta }{e}_{\beta }{g}_{\alpha }^{\beta }$

a on g és una funció en valor G definida en un subconjunt obert de M, la forma de conexió es transforma per mig de

${\omega }_{\alpha }^{\beta }(𝐞\cdot g)=(g^{-1}{)}_{\gamma }^{\beta }d{g}_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1}{)}_{\gamma }^{\beta }{\omega }_{\delta }^{\gamma }(𝐞)g_{\alpha }^{\delta }.$

O, usant productes matriciales:

$\omega (𝐞\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.$

Per a interpretar cada u d'estos térmens, recorde's que g : M → G és una funció en valor G (definida localment). Tenint açò en conte,

$\omega (𝐞\cdot g)=g^{*}{\omega }_{𝔤}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (𝐞)$

a on ω_g és la forma de Maurer-Cartan per al grup G, ací retornat a M en la funció g, i Ad és la representació adjunta de G en la seua àlgebra de Lie.

Fas principals

La forma de conexió, tal com s'ha presentat fins ara, depén d'una elecció particular de sistema de referència. En la primera definició, el sistema de referència és simplement una base local de seccions. A cada quadro se li dona una forma de conexió en una llei de transformació per a passar d'un quadro a un atre. En la segona definició, els propis sistema de referències duen alguna estructura adicional proporcionada per un grup de Lie, i els canvis de sistema de referència estan restringits a aquells que prenen els seus valors en ell. El llenguage dels fas principals, del que Charles Ehresmann va ser pioner en la década de 1940, proporciona una manera d'organisar estes múltiples formes de conexió i les lleis de transformació que les conecten en una única forma intrínseca en una única regla de transformació. La desventaja d'este enfocament és que les formes ya no es definixen en la varietat mateixa, sino en un fes principal més gran.

Conexió principal per a una conexió

Suponga's que I → M és un fes de vectores en grup d'estructura G. Siga {O} un recobriment obert de M, junt en un sistema de referències G en cada O, indicats per i_O. Estos sistemes estan relacionats en les interseccions de conjunts oberts superposts per

${𝐞}_V={𝐞}_U\cdot h_{UV}$

per a alguna funció h_UV en valor G definida en O ∩ V.

Siga F_GI el conjunt de tots els sistemes de referència G presos en cada punt de M. Est és un fes principal G sobre M. En detalle, utilisant el fet de que els sistema de referències G estan tots relacionats en G, F_GI es pot realisar en térmens de pegat de senyes entre els conjunts del recobriment obert:

$F_{G}E=\coprod _{U}U\times G/\sim$

a on la relació d'equivalència $\sim$ està definida per

$((x,g_U)\in U\times G)\sim ((x,g_V)\in V\times G)⟺{𝐞}_V={𝐞}_U\cdot h_{UV}\text{and }{g}_U=h_{UV}^{-1}(x)g_V.$

En F_GI, es definix una G-conexió principal de la següent manera, especificant una 1-forma en valor g en cada producte O × G, que respecta la relació d'equivalència en les regions de superposició. Primer, siguen

${\pi }_1:U\times G\to U,{\pi }_2:U\times G\to G$

les aplicacions de proyecció. Ara, per a un punt (x,g) ∈ O × G, s'establix

${\omega }_{(x,g)}=A{d}_{g^{-1}}{\pi }_1^{*}\omega ({𝐞}_U)+{\pi }_2^{*}{\omega }_{𝐠}.$

La 1-forma ω construïda d'esta manera respecta les transicions entre conjunts superposts i, per lo tant, descendix per a donar una 1-forma globalment definida en el fes principal F_GI. Es pot demostrar que ω és una conexió principal en el sentit de que reproduïx els generadors de l'acció pròpia G en F_GI, i entrellaça de manera equivariante l'acció pròpia en T(F_GI) en la representació adjunta de G.

Formes de conexió associades a una conexió principal

Pel contrari, una conexió G principal ω en un fes G principal P→M dona lloc a una colecció de formes de conexió en M. Suponga's que i : M → P és una secció local de P. Llavors, la reculada de ω en i definix una forma única en valor g en M:

$\omega (𝐞)={𝐞}^{*}\omega .$

Canviant de sistema de referència per mig d'una funció g en valor G, es veu que ω(i) es transforma de la manera requerida usant la regla de Leibniz i la adjunción:

$⟨X,(𝐞\cdot g{)}^{*}\omega ⟩=⟨[d(𝐞\cdot g)](X),\omega ⟩$

a on X és un vector en M i d denota una aplicació progrediente.

Vore també

• Conexió de Ehresmann
• Conexió de Cartan
• Conexió afí
• Forma de curvatura

Bibliografia

• Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institut d'Estudis Alvançats, notes de conferències mimeografiadas, 1951.
• (1974).«Real hypersurfaces in complex manifolds».Acta Math..133

219–271.doi:10.1007/BF02392146.

• (1978).«Principles of algebraic geometry».John Wiley and sons.
• (2011).«Riemannian geometry and geometric analysis».Springer, Heidelberg.doi:10.1007/978-3-642-21298-7.
• (1996).«Foundations of Differential Geometry, Vol. 1».Wiley-Interscience.
• (1996).«Foundations of Differential Geometry, Vol. 2».Wiley-Interscience.
• (1999a).«A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2)».Publish or Perish.
• (1999b).«A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)».Publish or Perish.
• (1973).«Differential analysis on complex manifolds».Springer-Verlag.
• (1980).«Differential analysis on complex manifolds».Prentice–Hall.