Derivada covariant gauge

La derivada covariant gauge és una generalisació de la derivada covariant utilisada en relativitat general. Si una teoria té simetria gauge, significa que algunes de les propietats físiques de certes equacions no es modifiquen baix aquelles transformacions. Aixina mateix, la derivada covariant gauge és la derivada normal modificada de tal manera que es comporte com un verdader operador vectorial, de modo que les equacions escrites utilisant la derivada covariant preserven les seues propietats físiques baix transformacions gauge.

Dinàmica de decorreguts

En dinàmica de decorreguts, la derivada covariant gauge d'un decorregut es definix com

${\mathrm{\nabla }}_t𝐯:={\partial }_t𝐯+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯$

a on $𝐯$ és el camp vectorial de la velocitat d'un decorregut.

Teoria gauge

En teoria gauge, que estudia una classe particular de camps que tenen d'importància en la teoria de camps quàntics, la derivada covariant en acoplament mínim es definix com

$D_{\mu }:={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$

a on $A_{\mu }$ és el cuadrivector de potencial electromagnètic.

(Nota que açò és vàlit per a una signatura $(-,+,+,+)$ en la mètrica de Minkowski, la que s'ampra en este artícul. Per a $(+,-,-,-)$ el menys passa a ser un més.)

Construcció de la derivada covariant a través del requisit de covarianza gauge

Considerar una transformació gauge genèrica (possiblement no-abeliana) donada per

$\varphi (x)\to U(x)\varphi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\varphi (x),$

${\varphi }^{†}(x)\to {\varphi }^{†}(x)U^{†}(x)\equiv {\varphi }^{†}(x)e^{-i\alpha (x)},U^{†}=U^{-1}.$

a on $\alpha (x)$ és un element del àlgebra de Lie associada en el grup de Lie de transformacions, i es pot expressar en térmens dels generadors com $\alpha (x)={\alpha }^a(x)t^a$.

La derivada parcial ${\partial }_{\mu }$ transforma consegüentment com

${\partial }_{\mu }\varphi (x)\to U(x){\partial }_{\mu }\varphi (x)+({\partial }_{\mu }U)\varphi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}{\partial }_{\mu }\varphi (x)+i({\partial }_{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\varphi (x)$

i per tant un terme cinètic de la forma ${\varphi }^{†}{\partial }_{\mu }\varphi$ no és invariante baix esta transformació.

Podem introduir la derivada covariant $D_{\mu }$ en este context com a generalisació de la derivada parcial ${\partial }_{\mu }$ que transforma covariantemente baix la transformació gauge, açò és, un objecte que satisfà

$D_{\mu }\varphi (x)\to D{\text{'}}_{\mu }{\varphi }^{\prime }(x)=U(x)D_{\mu }\varphi (x),$

que en térmens d'operadors pren la forma

$D{\text{'}}_{\mu }=U(x)D_{\mu }{U}^{†}(x).$

Aixina que calculem (ometent les dependències explícites en $x$ per brevetat)

$D_{\mu }\varphi \to D{\text{'}}_{\mu }U\varphi =U{D}_{\mu }\varphi +(\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\varphi$,

a on

$D_{\mu }\to D{\text{'}}_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu },$

$A_{\mu }\to A{\text{'}}_{\mu }=A_{\mu }+\delta A_{\mu }.$

El requisit per a que $D_{\mu }$ transforme covariantemente es traduïx ara en la condició

$(\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\varphi =0.$

Per a obtindre una expressió explícita fem el Ansatz

$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu },$

d'a on se seguix que

$\delta D_{\mu }\equiv -ig\delta A_{\mu }$

i

$\delta A_{\mu }=[U,A_{\mu }]U^{†}-\frac{i}{g}[{\partial }_{\mu },U]U^{†}$

que $U(x)=1+i\alpha (x)+𝒪({\alpha }^2)$ és de la forma

$\delta A_{\mu }=\frac{1}{g}([{\partial }_{\mu },\alpha ]-ig[A_{\mu },\alpha ])+𝒪({\alpha }^2)=\frac{1}{g}[D_{\mu },\alpha ]+𝒪({\alpha }^2)$

Aixina que hem trobat un objecte $D_{\mu }$ tal que

${\varphi }^{†}(x)D_{\mu }\varphi (x)\to \varphi {\text{'}}^{†}(x)D{\text{'}}_{\mu }{\varphi }^{\prime }(x)={\varphi }^{†}(x)D_{\mu }\varphi (x)$

Electrodinàmica quàntica

Si una transformació gauge està donada per

$\psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi$

i per al potencial gauge

$A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+\frac{1}{e}({\partial }_{\mu }\Lambda )$

llavors $D_{\mu }$ transforma com

$D_{\mu }\mapsto {\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }-i({\partial }_{\mu }\Lambda )$,

i $D_{\mu }\psi$ transforma com

$D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }{D}_{\mu }\psi$

i $\overline{\psi }:={\psi }^{†}{\gamma }^0$ com

$\overline{\psi }\mapsto \overline{\psi }{e}^{-i\Lambda }$

de modo que

$\overline{\psi }{D}_{\mu }\psi \mapsto \overline{\psi }{D}_{\mu }\psi$

i $\overline{\psi }{D}_{\mu }\psi$ en el lagrangiano de l'electrodinàmica quàntica és per tant invariante gauge.

Per un atre costat, la derivada no covariant ${\partial }_{\mu }$ no preservaria la simetria gauge del lagrangiano, ya que

$\overline{\psi }{\partial }_{\mu }\psi \mapsto \overline{\psi }{\partial }_{\mu }\psi +i\overline{\psi }({\partial }_{\mu }\Lambda )\psi$.

Cromodinámica quàntica

En cromodinámica quàntica, la derivada covariant gauge és

$D_{\mu }:={\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu }^{\alpha }{\lambda }_{\alpha }$

a on $g$ és la constant d'acoplament, $A$ és el camp gauge gluónico, per als huit gluones diferents $\alpha =1\dots 8$ , $\psi$ és un espinor de Dirac de quatre components, i ${\lambda }_{\alpha }$ és una de les huit matrius de Gell-Mann.

Model estàndar

La derivada covariant en el Modele Estàndar pot ser expressada en la forma següent:

$D_{\mu }:={\partial }_{\mu }-i\frac{g_1}{2}Y{B}_{\mu }-i\frac{g_2}{2}{\sigma }_j{W}_{\mu }^j-i\frac{g_3}{2}{\lambda }_{\alpha }{G}_{\mu }^{\alpha }$

a on $Y$ és l'hipercarga, $B_{\mu }$ el bosón gauge del grup $U(1{)}_Y$, ${\sigma }_j$ les matrius de Pauli, $W_{\mu }^j$ els bosones gauge del grup quiral $SU(2{)}_L$ (vore model electrodébil), ${\lambda }_{\alpha }$ les matrius de Gell-Mann, $G_{\mu }^{\alpha }$ els gluones i $g_1$, $g_2$ i $g_3$ les corresponents constants d'acoplament.

Vore també

• Moment Cinètic
• Conexió (matemàtica)
• Derivada covariant