Model electrodébil

El model electrodébil és una teoria física que unifica l'interacció dèbil i l'electromagnetisme, dos de les quatre forces fonamentals de la naturalea. En la seua formulació moderna és el model està formulada com una teoria de camp de gauge, que per tant, és renormalisable. Una de les dificultats històriques és que la simetria de la teoria donada pel grup de gauge, a les condicions normals del nostre univers actual, està afectada per una ruptura espontànea de simetria electrodébil. Dita trencament és la que va dur a introduir el mecanisme de Higgs, que finalment va permetre construir una teoria de camp de gauge invariante, associada al bosón de Higgs.

El model electrodébil va ser desenrollat en la década de 1960 per Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam i Steven Weinberg. La constatació experimental de les interaccions nuclears dèbils mediades per corrents carregades ($W^{\pm }$) els va dur a postular l'existència de les corrents neutres, les quals varen ser descobertes en 1973 en el detector d'cámara de líquits pesats Gargamelle. Estos tres investigadors varen rebre el Premi Nobel de Física en 1979.

Presumiblement, el model electrodébil és un cas llímit d'una Teoria de Gran Unificació (GUT), que uniria l'interacció electrodébil en l'interacció forta. Si be existixen motius fundats per a creure que existix una teoria d'eixe tipo i, de fet, s'han publicat numeroses propostes específiques de GUT, encara no tenim clar si alguna d'estes propostes és el tipo de teoria GUT correcte, ya que les senyes experimentals no són suficients per a distinguir quin de les propostes possibles és correcta i es requirirán noves observacions abans de resoldre l'assunt d'cual és la GUT correcta que generalisa el model electrodébil i la cromodinámica quàntica.

Antecedents històrics

La primera teoria quantitativa de l'interacció dèbil, va anar el model de Fermi de l'interacció dèbil, proposta pel físic italià Enrico Fermi en 1933. Eixa teoria era un tant fenomenológica i era només vàlida per a baixes energies i una cantitat llimitada de processos dèbils. La teoria original de Fermi duya a nucs cuádruples dins dels diagrames de Feynman, que eren en realitat "diagrames colapsats", eliminant lo que en la teoria electrodébil moderna eren les llínees per als bosones intermijos. És dir, la teoria moderna implica que els càlculs perturbativos per mig de diagrames de Feymann, tinguen només nucs triples, a on s'unixen una llínea bosónica en dos fermiónicas. Si se suprimixen les llínees bosónicas dels bosones intermediaris W i Z entre nucs triples, resulta un nuc cuádruple a on convergixen quatre llínees fermiónicas, que és el diagrama típic de la teoria de Fermi. Si be la teoria teoria original de Fermi, tenia certs èxits i predictividad, teneía atres problemes: no tenia l'estructura de teoria gauge renormalisable, per lo que només podia proporcionar aproximacions prou llimitades.

Formulació matemàtica

Model abans de la ruptura de simetria

El model electrodébil convencional consistix en una teoria de camps de gauge que el camp electrodébil és tractat com un camp de Yang-Mills. És dir, en eixa teoria els fermiones són descrits per mig d'un lagrangiano de Dirac generalisat adequadament per a que siga invariante gauge baixe un cert grup gauge de simetria interna. En la formulació del Model Estàndar (SM) no existix a priori una elecció única de la simetria del lagrangiano de les interaccions electrodébiles. Es deduïx, per tant, de resultats experimentals.

De l'evidència experimental, es deduïx que el grup de simetria gauge mínim capaç d'acomodar les corrents carregades és SU(2). L'observació empírica ha permés constatar que les interaccions electrodébiles actuen de manera distinta sobre els fermiones dextrógiros i sobre els fermiones levógiros constituïx una de les característiques d'este model. Eixe diferentete tractament dels fermiones levógiros i dextrógiros és una violació de la paritat, que va ser proposta teòricament per Chen Ning Yang i Tsung-Dao Lee, en 1956, lo que els va valdre el Premi Nobel de Física de 1957. Aixina, les corrents carregades de Yang-Mills inclouen solament fermiones levógiros i no es coneixen neutrinos dextrógiros. És per això que els camps fermiónicos levógiros són agrupats en doblets, mentres que els camps dextrógiros són singletes del grup $SU(2{)}_L$ en simetria d'isospín (a on el subíndex L únicament indica l'asimetria existent entre els fermiones de distinta helicidad):

	Levógiros			Dextrógiros
Leptones	${\left(\begin{array}{c}{\nu }_e\\ e\end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}{\nu }_{\mu }\\ \mu \end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}{\nu }_{\tau }\\ \tau \end{array}\right)}_L,$	${\left(\begin{array}{c}0\\ e\end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}0\\ \mu \end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}0\\ \tau \end{array}\right)}_L$
Cuarks	${\left(\begin{array}{c}u\\ d\end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}c\\ s\end{array}\right)}_L$	${\left(\begin{array}{c}t\\ b\end{array}\right)}_L,$	${\left(\begin{array}{c}u\\ d\end{array}\right)}_R$	${\left(\begin{array}{c}c\\ s\end{array}\right)}_R$	${\left(\begin{array}{c}t\\ b\end{array}\right)}_R$

Lo que vol dir que les partícules són representants d'un grup de gauge ${𝒢}_s=\mathrm{U}(1{)}_Y\otimes \mathrm{S}\mathrm{U}(2{)}_L$. En la representació anterior cada u dels parells levógiros inclou dos espinores de Dirac, per eixemple:

a on ${\gamma }^5$ és la "quinta" matriu de Dirac que es transforma com un pseudoescalar.

En la representació anterior no es pot (a menos que es trenque explícitament la simetria gauge) introduir un terme de massa en la lagrangiana que descriu la cinemàtica dels fermiones. No obstant la realitat experimental dona conte de l'existència de massa en els bosones vectorials. Per un atre costat les forces electromagnètica i dèbil actuen sobre els mateixos camps fermiónicos i no poden ser descrites per separat. Per tot això, el grup de gauge mínim que descriu les interaccions electrodébiles és $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$. La simetria gauge local del grup $SU(2{)}_L$ està associada a la conservació del isospín dèbil, $T$. La cantitat conservada pel grup $U(1{)}_Y$ és la hipercarga, $Y$, que es relaciona en la càrrega elèctrica, $Q$, i en la tercera component del isospín, $T_3$. En térmens dels operadors de càrrega i isospín en la tercera direcció, tenim:

a on $\hat{I}\in {ℳ}_{3\times 3}$ és la matriu identitat de tres dimensions. L'exigència de que la lagrangiana que conté els térmens cinemàtics dels camps fermiónicos siga invariante baix transformacions gauge definides pel grup de simetria $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ introduïx de manera natural quatre camps bosónicos sense massa: $W_{\mu }^i(x)$ (i = 1, 2, 3), associats al grup $SU(2{)}_L$, i $B_{\mu }(x)$, associat al grup $U(1{)}_Y$. En estos camps es definix la derivada covariant:

a on:

$g$ és la constant d'acoplament del grup de isospín dèbil $SU(2{)}_L$ i

$g^{\prime }$ és la constant d'acoplament del grup de hipercarga $U(1{)}_Y$.

${\hat{T}}_A$ són els generadors del àlgebra de Lie de $SU(2{)}_L$, sent $A\in \{1,2,3\}$ l'índex que indica la component del isospín. Les matrius ${\hat{T}}_A$ usualment es prenen iguals a les tres matrius de Pauli generadors de $SU(2{)}_L$..

Finalment la Lagrangiana electrodébil (abans de la ruptura de la simetria tindrà una expressió de la forma:

${ℒ}_{EW}={ℒ}_{bos.}+{ℒ}_{ferm.}$

a on les dos lagrangianas descriuen els camps bosónicos (subíndex bos.) i fermiónicos (subíndex ferm.) i poden escriure's de la forma:

${ℒ}_{\text{bos.}}=\frac{1}{4}{W}_{\mu \nu }{W}^{\mu \nu }-\frac{1}{4}{B}_{\mu \nu }{B}^{\mu \nu }$

${ℒ}_{\text{ferm.}}={\overline{\psi }}_L{\gamma }^{\mu }(\mathrm{i}{\partial }_{\mu }-g^{\prime }\hat{I}\frac{Y}{2}{B}_{\mu }-g\frac{1}{2}{\hat{T}}_A{W}_{\mu }^A){\psi }_L+{\overline{\psi }}_R{\gamma }^{\mu }(\mathrm{i}{\partial }_{\mu }-g^{\prime }\hat{I}\frac{Y}{2}{B}_{\mu }){\psi }_R$

sent:

$\begin{array}{ccc}{W}_{\mu \nu }& \equiv & {\partial }_{\mu }{W}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{W}_{\mu }-g[W_{\mu },W_{\nu }]\\ B_{\mu \nu }& \equiv & {\partial }_{\mu }{B}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{B}_{\mu }\end{array}$

No obstant, esta construcció resulta en bosones de massa nula. No obstant el fet experimental de que les interaccions dèbils actuen solament a distàncies extremadament menudes, era un indicador clar de que els bosones transmissors de la força dèbil devien posseir massa, com va ser demostrat posteriorment. Un terme de massa de la forma $\frac{1}{2}{m}^2{W}_{\mu }^i{W}_i^{\mu }$ trencaria explícitament la simetria gauge, fent la teoria no renormalisable. El procés pel qual es conseguix introduir els térmens de massa en el model es denomina ruptura espontànea de simetria electrodébil.

Model despuix de la ruptura de simetria

Archiu:Mexican hat potential polar.svg

Gràfic de la funció potencial de Goldstone $V(\varphi )$, usat per a explicar la ruptura espontànea de simetria que acaba conferint massa varis bosones de la teoria, tornant "dèbil" una part de l'interacció.

En la secció anterior s'ha presentat la formulació del model electrodébil abans de la ruptura de la simetria. En eixa forma el model només és aplicable a molt altes energies quan els bosones intermediaris W i Z no tenen massa. No obstant, en el nostre univers a les temperatures i condicions imperants, apareix una ruptura espontànea de la simetria, per l'interacció dels bosones del model electrodébil anterior en el bosón de Higgs i com a resultat d'això, la part dèbil del model electrodébil fenomenológicamente apareix mediada per bones intermediaris dotats de massa, la qual cosa explica el tall alcance de l'interacció dèbil en el nostre univers. Per a entendre com és lagrangiano efectiu en les condicions normals del nostre univers devem afegir certs térmens al lagrangiano de la secció anterior.

El "sector de Higgs" del lagrangiano consta de considerar un camp escalar d'espin zero (camp de Higgs) que té les següents components:

a on les quatre components ${\varphi }_i$ són funcions reals. En l'objectiu de mantindre la invariancia de gauge, les derivades del camp que intervindran en el lagrangiano es prenen com derivades covariants:

a on $v>0$ és el valor esperat del camp de Higgs en el buit, que en ser no nul produïx el potencial de "capell mexicà" mostado en la figura, que té una inestabilitat quan el camp és nul, la qual cosa du a la ruptura espontànea de la simetria. Si considerem ara que la forma de camp es pot escriure com:

Escrivim el sector de Higgs del lagragiano que interacciona en els bosones electrodébiles com:

A efectes pràctics podem substituir els camps $W_{\mu }^3$ i $B_{\mu }$ per dos els camps mesurables físicament $Z_{\mu }$ i $A_{\mu }$, usant les relacions:

I llavors la contribució del sector de Higgs fenomenológicamente és equivalent a que tres dels camps bosónicos intermediaris tingueren massa:

El camp $A_{\mu }$ que representarà el potencial electromagnètic del fotó es veu afectat per térmens de massa, per lo que els fotons en esta teoria es comportarien com a partícules sense massa. Per una atra part els fermiones de la teoria "adquiriran massa" com un atre efecte fenomenológico de l'interacció de dits camps en el camp de Higgs, aixina en dins del lagrangiano apareixeran térmens d'interacció en el camp de Higgs del tipo:

Vore també

• Forces fonamentals
• Ruptura espontànea de simetria
• Interacció nuclear dèbil
• Interacció electromagnètica
• Hipercarga dèbil